Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сферична теорема Піфагора



План:


Введення

Прямокутний сферичний трикутник з гіпотенузою c, катетами a і b і прямим кутом C.

Сферична теорема Піфагора - теорема, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного сферичного трикутника.


1. Формулювання і доказ

Сферична теорема Піфагора формулюється так [1] :

Косинус гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює добутку сферичного косинусів його катетів.
Малюнок до доведення сферичної теореми Піфагора.

Доказ проведемо за допомогою тригранного кута [1] OA 1 B 1 C 1 зі сторонами (променями) OA 1, OB 1, OC 1 і вершиною в точці O, плоскі кути A 1 OC 1 і C 1 OB 1 якого дорівнюють катетам b і a даного трикутника, плоский кут A 1 OB 1 дорівнює його гіпотенузі c, двогранний кут між гранями A 1 OC 1 і C 1 OB 1 дорівнює 90 градусів, а інші два двогранних кута дорівнюють відповідним кутам сферичного прямокутного трикутника. Цей тригранний кут пересічений площиною A 1 B 1 C 1, перпендикулярній променю OB 1. Тоді кути A 1 C 1 O і A 1 C 1 B 1 будуть прямими.

Зауважимо, що

\ Frac {OB_1} {OA_1} = \ cos \ angle A_1OB_1 = \ cos c, \,
\ Frac {OC_1} {OA_1} = \ cos \ angle A_1OC_1 = \ cos b, \,
\ Frac {OB_1} {OC_1} = \ cos \ angle C_1OB_1 = \ cos a. \,

Звідси

\ Cos c = \ frac {OB_1} {OA_1} = \ frac {OB_1} {OC_1} \ cdot \ frac {OC_1} {OA_1} = \ cos a \ cos b. \,

Що й було потрібно довести.

Якщо вважати, що сферична теорема косинусів вже доведена, формулу для сферичної теореми Піфагора можна відразу отримати з неї, записавши сферичну теорему косинусів для гіпотенузи даного прямокутного трикутника сферичного і просто підставивши в вийшло вираз кут 90 градусів, косинус якого дорівнює нулю.


2. Наслідки і застосування

При радіусі сфери, яка прагне до нескінченності, сферична теорема Піфагора переходить в теорему Піфагора планіметрії. Тому, оскільки радіус Землі великий, при невеликих відстанях прямокутні трикутники на поверхні Землі (наприклад, використовувані для вимірювання відстаней і кутів на місцевості) практично підпорядковуються теоремі Піфагора планіметрії [2], тоді як для великих відстаней, порівнянних з радіусом Землі, вже необхідно застосовувати сферичну теорему Піфагора.

Із застосуванням сферичної теореми Піфагора можна отримати формули для різниці довгот і відстані між точками земної поверхні, а, отже, і відповідні формули для відстаней і координат точок на небесній сфері.

З сферичної теореми Піфагора випливає, що в прямокутному сферичному трикутнику кількість сторін, менших 90 градусів, непарне, а великих - парне [1]. Тому якщо обидва катета прямокутного трикутника сферичного більше 90 градусів, то його гіпотенуза менше 90 градусів, тобто в цьому випадку гіпотенуза коротше кожного з двох катетів - положення, неможливе для прямокутного трикутника на площині.


3. Історія

Сферична теорема Піфагора була відома ще Ал-Біруні, який разом з тим не знав сферичної теореми косинусів, тому застосував сферичну теорему Піфагора і теорему синусів для вирішення як мінімум двох завдань: визначення різниці довгот двох пунктів на поверхні Землі за їх широт і відстані між ними і визначення відстані між двома пунктами на поверхні Землі за їх широта і довгота [3] : 81 .

Примітки

  1. 1 2 3 Степанов М. М. Сферична теорема Піфагора / / Сферична тригонометрія - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 42-44. - 154 с.
  2. John McCleary Geometry From A differentiable Viewpoint - books.google.ru / books? id = O9P8Rd8Klw0C & lpg = PA6 - Cambridge University Press, 1994. - С. 6. - 308 с.
  3. Розенфельд Б.А., Рожанська М.М. Астрономічний працю Ал-Біруні "Канон Мас'уда" - naturalhistory.narod.ru/Hronolog/IAI/IAI_10/Iai_Ogl.htm / / Історико-астрономічні дослідження. - М .: Наука, 1969. - В. X. - С. 63-96.
Сферична тригонометрія
Основні поняття Сферичний трикутник Полярний трикутник Ексцес Двуугольнік
Формули та співвідношення Теореми косинусів Теорема синусів Формула п'яти елементів Формула половини боку Мнемонічне правило Непера Сферична теорема Піфагора Формули Деламбр Формули аналогії Непера Теорема Лежандра
Пов'язані теми Сферична система координат Сферична геометрія Тригранний кут

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема Піфагора
Теорема синусів (сферична геометрія)
Теорема Лежандра (сферична тригонометрія)
Дерево Піфагора
Кружка Піфагора
Феано (дружина Піфагора)
Сферична панорама
Сферична тригонометрія
Сферична геометрія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru