Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сферична тригонометрія



План:


Введення

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, в якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін сферичних трикутників. Застосовується для вирішення різних геодезичних і астрономічних задач.


1. Історія

Основи сферичної тригонометрії були закладені грецьким математиком і астрономом Гиппархом в II столітті до н. е.. Важливий внесок у її розвиток внесли такі античні вчені, як Менелай Александрійський і Клавдій Птолемей. Сферична тригонометрія древніх греків спиралася на застосування теореми Менелая до повного четирехсторонніку на сфері. Давньогрецькі математики викладали умова теореми Менелая не мовою відносин синусів, а мовою відносин хорд. Для виконання необхідних розрахунків застосовувалися таблиці хорд, аналогічні наступним таблицям синусів.

Як самостійна дисципліна сферична тригонометрія сформувалася в роботах середньовічних математиків країн ісламу. Найбільший внесок у її розвиток в цю епоху внесли такі вчені, як Сабіт ібн Корра, Ібн Ірак, Кушьяр ібн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Біруні, Джабір ібн Афлах, ал-Джайяні, Насир ад-Дін ат-Тусі. У їх роботах були введені основні тригонометричні функції, сформульована і доведена теорема синусів сферична і ряд інших теорем, що застосовувалися в астрономічних і геодезичних розрахунках, введено поняття полярного трикутника, що дозволяло обчислювати боку сферичного трикутника за трьома його даними кутах.

Історія сферичної тригонометрії в Європі пов'язана з працями таких вчених, як Региомонтан, Микола Коперник, Франческо Мавролік.


2. Основні співвідношення

Сферичний трикутник.

Позначимо сторони сферичного трикутника a, b, c, противолежащие цим сторонам кути - A, B, C. Сторона сферичного трикутника дорівнює куту між двома променями виходять із центру сфери до відповідних кінці сторони трикутника. Для радіанної міри кута:

a = \ frac {| uv |} {R},b = \ frac {| uw |} R,c = \ frac {| vw |} R

2.1. Теореми для прямокутного трикутника сферичного

Нехай кут C - прямий. Тоді мають місце наступні співвідношення:

~ \ Tan b = \ tan c \ cos A,
~ \ Tan a = \ sin b \ tan A,
~ \ Sin a = \ sin c \ sin A,
~ \ Tan c = \ tan A \ tan B,
~ \ Cos A = \ cos a \ sin B.

2.2. Теореми для довільного сферичного трикутника

Сферичні теореми косинусів

~ \ Cos a = \ cos b \ cos c + \ sin b \ sin c \ cos A,
~ \ Cos A = - \ cos B \ cos C + \ sin B \ sin C \ cos a.

Сферична теорема синусів

\ Frac {\ sin a} {\ sin A} = \ frac {\ sin b} {\ sin B} = \ frac {\ sin c} {\ sin C}.

Перша і друга сферичні теореми косинусів двоїсті по відношенню один до одного. Сферична теорема синусів двоїста по відношенню до самої себе.

Формула п'яти елементів

~ \ Sin a \ cos C = \ sin b \ cos c - \ cos b \ sin c \ cos A.
~ \ Sin A \ cos c = \ sin B \ cos C + \ cos B \ sin C \ cos a,

Зазначені дві формули так само двоїсті один до одного.


3. Застосування

Знання формул сферичної тригонометрії необхідно при вирішенні таких завдань, як, наприклад, перетворення координат з однієї системи небесних координат в іншу, розрахунок довготи центрального меридіана планети Сонячної системи, розмітка сонячних годин і точний напрям супутникової антени (тарілки) на потрібний супутник для прийому каналів супутникового телебачення.


Література

  • Матвієвська Г. П. Нариси історії тригонометрії. Ташкент: Фан, 1990.
  • Степанов М. М. Сферична тригонометрія. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ексцес (сферична тригонометрія)
Теорема Лежандра (сферична тригонометрія)
Тригонометрія
Раціональна тригонометрія
Сферична геометрія
Сферична панорама
Сферична аберація
Сферична теорема Піфагора
Сферична система координат
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru