Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Схема перетворення



План:


Введення

Схемою перетворення [множин] (Axiom schema of replacement) називається таке висловлювання теорії множин :

  • ~ \ Forall x \ exist ^ {\ {1 \}} y \ (\ phi [x, y]) \ to \ forall a \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in a \ \ land \ \ phi [b, c]) \) , Де ~ \ Forall x \ exists ^ {\ {1 \}} y \ (\ phi [x, y]) \ Leftrightarrow \ forall x \ exist! y \ (\ phi [x, y]) \ Leftrightarrow \ forall x \ exist y \ forall y '(\ phi [x, y] \ leftrightarrow y = y')

Схему перетворення можна сформулювати по-російськи, а саме: "Будь-яка множина можна перетворити в [те ж саме або інше] безліч ~ D , Висловивши функціональне судження ~ \ Phi про всі елементи ~ B даної множини ~ A . "

Приклад
У наступному прикладі функціональне судження ~ Y = x перетворює кожне безліч ~ A в самого себе.
\ Phi [x, y] \ leftrightarrow y = x \ quad \ Rightarrow \ quad \ forall a \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in a \ \ land \ c = b)) \ ​​quad \ Leftrightarrow \ quad \ forall a \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow c \ in a)

1. Інші формулювання схеми перетворення

Схему перетворення записують також у наступному вигляді:

  • ~ \ Forall a \ (\ \ forall b \ (b \ in a \ to \ exist ^ {\ {1 \}} y \ (\ phi [b, y]) \) \ quad \ to \ quad \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in a \ \ land \ \ phi [b, c]) \))
Приклади
1. У наступному прикладі функціональне судження ~ Y = 2b ' перетворює безліч натуральних чисел ~ \ Mathbb {N} в безліч парних чисел ~ \ {0,2,4, ... \} .
\ Begin {align} a = \ mathbb {N} \ \ land \ (\ phi [b ', y] \ leftrightarrow y = 2b') \ quad \ Rightarrow \ quad \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in \ mathbb {N} \ \ land \ c = 2b)) \ ​​\ \ \ Leftrightarrow \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow c \ in \ {0, 2,4, ... \}) \ end {align}
2. У наступному прикладі функціональне судження ~ (B '= 0 \ to y = a_1) \ \ land \ (b' \ ne 0 \ to y = a_2) перетворює безліч речових чисел ~ \ Mathbb {R} в [невпорядковану] пару ~ \ {A_1, \ a_2 \} .
\ Begin {align} a = \ mathbb {R} \ quad \ land \ quad (\ phi [b ', y] \ leftrightarrow (b' = 0 \ to y = a_1) \ \ land \ (b '\ ne 0 \ to y = a_2)) \ quad \ Rightarrow \ \ \ \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in \ mathbb {R} \ \ land \ (b = 0 \ to c = a_1) \ land (b \ ne 0 \ to c = a_2) \)) \ \ \ \ Leftrightarrow \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow c = a_1 \ \ lor \ c = a_2 ) \ end {align}
3. У наступному прикладі функціональне судження ~ (0 \ le b '\ le 1 \ to y = b') \ \ land \ (\ neg (0 \ le b '\ le 1) \ to y = 1) перетворює безліч цілих чисел ~ \ Mathbb {Z} в підмножина натуральних чисел ~ \ {N: \ n \ in \ mathbb {N} \ \ land \ n <2 \} .
\ Begin {align} a = \ mathbb {Z} \ quad \ land \ quad (\ phi [b ', y] \ leftrightarrow (0 \ le b' \ le 1 \ to y = b ') \ land (\ neg (0 \ le b '\ le 1) \ to y = 1)) \ quad \ Rightarrow \ \ \ \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in \ mathbb {Z } \ land (0 \ le b \ le 1 \ to c = b) \ land (b <0 \ lor b> 1 \ to c = 1))) \ \ \ \ Leftrightarrow \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow c \ in \ {n: \ n \ in \ mathbb {N} \ \ land \ n <2 \} \) \ end {align}

Схему перетворення записують також у наступному вигляді:

  • ~ \ Forall a \ (\ \ forall b \ (b \ in a \ to \ exists ^ {\ {0,1 \}} y \ (\ phi [b, y])) \ quad \ to \ quad \ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in a \ \ land \ \ phi [b, c]) \)) , Де ~ \ Exist ^ {\ {0,1 \}} y \ (\ phi [b, y]) \ Leftrightarrow \ forall y \ forall y '\ (\ phi [b, y] \ \ land \ \ phi [b , y '] \ to y = y')

2. Примітки

1. Зв'язок між схемою перетворення та аксіомою пари виражається наступним висловом:

  • \ Begin {align} \ forall a_1 \ forall a_2 \ (a = \ mathcal {P} (\ mathcal {P} (\ varnothing)) \ quad \ land \ quad (\ phi [b ', y] \ \ leftrightarrow \ (b '= \ varnothing \ to y = a_1) \ land (b' \ ne \ varnothing \ to y = a_2) \) \ \ \ \ rightarrow \ quad (\ exist d \ forall c \ (c \ in d \ \ leftrightarrow \ \ exist b \ (b \ in a \ land \ phi [b, c])) \ \ rightarrow \ \ exist c \ forall b \ (b \ in c \ leftrightarrow b = a_1 \ lor b = a_2) \)), \ end {align}
де ~ \ Mathcal {P} (\ mathcal {P} (\ varnothing)) - булеан булеана порожнього безлічі.

2. Зв'язок між схемою перетворення та схемою виділення виражається наступним висловом:

  • \ Begin {align} \ forall a \ (\ x \ in \ {b: b \ in a \ land \ Phi [b] \} \ quad \ land \ quad (\ phi [b ', y] \ \ leftrightarrow \ (\ Phi [b '] \ to y = b') \ land (\ neg \ Phi [b '] \ to y = x) \) \ \ \ \ to \ quad (\ exist d \ forall c \ (c \ in d \ leftrightarrow \ exist b \ (b \ in a \ land \ phi [b, c])) \ \ leftrightarrow \ \ exist c \ forall b \ (b \ in c \ leftrightarrow b \ in a \ land \ Phi [b])) \) \ end {align}

3. Історична довідка

Схема перетворення не увійшла в сукупність аксіом теорії множин, сформульованих Німецьким математиком Ернстом Цермело в 1908 році.

Схема перетворення запропонована Адольфом Френкелем (Adolf Fraenkel) в 1922 році. Трохи пізніше і незалежно від названого німецького математика зазначена схема була запропонована норвезьким математиком Торальф Сколемом (Thoralf Skolem).


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Схема
Блок-схема
Функціональна схема
Принципова схема
Структурна схема
Схема виділення
Схема Шнорр
Інтегральна схема
Різницева схема
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru