Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Схема (математика)



План:


Введення

В алгебраїчної геометрії схема - це абстракція, що дозволяє зв'язати єдиним чином комутативну алгебру і диференціальну геометрію і переносити ідеї з однієї області в іншу. У першу чергу поняття схеми дозволяє перенести геометричну інтуїцію та геометричні конструкції, такі як тензорні поля, розшарування і диференціювання, у теорію кілець. Історично теорія схем виникла з метою узагальнення і спрощення класичної алгебраїчної геометрії італійської школи XIX століття, що займалася дослідженням поліноміальних рівнянь.

Основним апаратом теорії схем є теорія категорій, теорія пучків, комутативність і гомологічної алгебри.

Надалі викладі слово "кільце" завжди означає "коммутативное асоціативне кільце з одиницею".


1. Мотивація

Базовим поняттям теорії схем є локально окільцьовані простору. Окільцьовані простору - це топологічне простір, на якому заданий пучок кілець, званий структурним пучком. Простір називається локально окільцьованих, якщо шар пучка в кожній точці є локальним кільцем. Локально окільцьовані простору є основним об'єктом вивчення в диференціальної геометрії і топології. Як структурного пучка при цьому виступає відповідний пучок функцій. Наприклад, топологічним просторам відповідає пучок безперервних функцій, гладким різноманіття - пучок гладких функцій, комплексно аналітичним різноманіття - пучок голоморфних функцій, суперпространства - пучок функцій зі значеннями в супералгебре (в останньому прикладі кільце функцій не є комутативними, однак виявляється, що властивість суперкоммутатівності не вимагає зміни формальних побудов). Твердження про те, що шар пучка є локальним кільцем, означає, що для кільця структурного пучка можна визначити поточечно значення, що належать деякому полю, так що елементи структурного пучка дійсно можна розглядати як функції. Відзначимо, що в загальному випадку така "функція" не визначається своїми поточечно значеннями, хоча в класичній геометрії аналога цьому явищу немає.

Мабуть, першим прикладом , Подводящим до поняття схеми, є простір Стоуна, зіставляє кожному булевої алгебри B її безліч ультрафільтрів S (B) . Базу топології на просторі Стоуна утворюють безлічі виду \ {X \ in S (B) \ vert b \ in x \} для всіх елементів b \ in B . По суті, конструкція Стоуна свідчить, що будь-яка булева алгебра є алгебра підмножин деякої множини. Відповідність між булева алгебра і булевими кільцями перетворює простір Стоуна в спектр відповідного булева кільця. Загальну конструкцію спектру ми опишемо далі.

Важливим прикладом є топологія Зарисского, введена О. Зарисского в 1940х [джерело не вказано 36 днів] роках з метою вивчення геометрії безлічі рішень поліноміальних рівнянь. Класична топологія Зарисского вводиться на подмножествах в \ Bbb {A} ^ n , Де \ Bbb {A} ^ 1 = \ Bbb {K} - Афінна пряма над полем \ Bbb {K} . Базу замкнутих підмножин в топології Зарисского утворюють безлічі рішень всіляких систем поліноміальних рівнянь. Топологія на аффінних подмножествах в \ Bbb {A} ^ n вводиться як топологія підпростору. Аналогічна конструкція існує для проективних многовидів. Зауважимо, що топологія Зарисского на \ C ^ n значно слабкіше, ніж класична. Зокрема, вона не є Гаусдорфів. Виявляється, однак, що відповідні геометрії в деякому сенсі еквівалентні [1]. Топологія Зарисского була основним прикладом, мотивувавши введення А. Гротендіком поняття схеми.

Одним із прикладів, мотивувавши введення поняття схеми, була відкрита в 1943 [джерело не вказано 36 днів] році подвійність Гельфанда-Наймарка, що зв'язує комутативні З *- алгебри з алгебра безперервних функцій на топологічних просторах. А саме, виявляється, що кожній комутативної банахових алгебри з одиницею A можна зіставити деякий компактне топологічний простір Ω (A) (Максимальний спектр алгебри, не плутати з спектром оператора), таке що коммутативна банахових алгебра C(A)) безперервних функцій на ньому буде в точності A . Крім того, Ω (C (X)) = X для компактного простору X . [2] виникає при цьому простір є трохи спрощеною версією спектра кільця, який ми побудуємо далі.


2. Аффінниє схеми

Базовим поняттям теорії схем є аффінниє схеми. Довільні схеми склеюються з аффінних, подібно до того, як розмаїття склеюється з локальних карт.

2.1. Спектр кільця

Нехай A - Кільце. Спектр Spec A кільця A - Це топологічний простір, точками якого є всі прості ідеали кільця A , Забезпечене топологією Зарисского. А саме, замкнутими підмножинами є безлічі виду

V (I) = \ {\ mathfrak {p} \ in \ mathrm {Spec} A \ vert I \ subset \ mathfrak {p} \}

Тут I - Всілякі ідеали кільця A . Відкритими множинами є, відповідно, доповнення замкнутих, тобто безлічі виду

D (I) = \ {\ mathfrak {p} \ in \ mathrm {Spec} A \ vert I \ not \ subset \ mathfrak {p} \}

Деякі елементарні властивості топології Зарисского такі:

V (I) \ cup V (J) = V (I \ cap J) \ subset V (IJ)
V (I) \ cap V (J) = V (I + J)
I (V (J)) = rad J

Тут I (S) - Множина всіх елементів кільця, занулюючих на безлічі S \ subset \ mathrm {Spec} A , Тобто

I (S) = \ {f \ in A \ vert \ forall \ mathfrak {p} \ in \ mathrm {Spec} A. \ f = 0 \ mod \ mathfrak {p} \}

2.2. Структурний пучок

Афінна схема - це локально окільцьовані простір (\ Mathrm {Spec} A; \ mathcal {O} _A) , Де \ Mathcal {O} _A - Структурний пучок. Він вводиться таким чином, щоб будь-який відкритий підмножина в Spec A можна було розглядати як подсхему, при цьому для аффінних схем потрібно \ Mathcal {O} _A (\ mathrm {Spec} \; A) = A , Що означає еквівалентність геометричного і алгебраїчного погляду на кільце.

Базу топології на спектрі утворюють безлічі D f = D ((f)) , f \ in A (Відповідні головному ідеалу (F) ). За визначенням, структурний пучок на них має вигляд

\ Mathcal {O} _A (D_f) = A_f

Тут A f - локалізація кільця A по елементу f . Ця конструкція триває єдиним чином до пучка на Spec A . У явному вигляді

\ Mathcal {O} _A (D_ {f_1, \ dots, f_k}) = A_ {f_1, \ dots, f_k}
D_ {f_1, \ dots, f_k} = \ cup_ {i = 1} ^ {k} D_ {f_i}
D_ {f_1 \ dots f_k} = \ cap_ {i = 1} ^ {k} D_ {f_i}

Зазначена конструкція визначає контраваріантний функтор \ Mathrm {Spec} \ colon \ mathcal {R} ing ^ {op} \ to \ mathcal {A} ff з категорії кілець в категорію аффінних схем. Є також зворотний функтор \ Mathcal {O} \ colon \ mathcal {A} ff \ to \ mathcal {R} ing ^ {op} , Сопоставляющий локально окольцьованому простору (X, \ mathcal {O} _X) кільце глобальних перерізів \ Mathcal {O} _X (X) його структурного пучка. Ця пара функторів визначає еквівалентність категорій \ Mathcal {R} ing ^ {op} \ simeq \ mathcal {A} ff . Загальне поняття схеми вводиться так, щоб функтор спектру був пов'язаний справа функтор глобальних перерізів:

\ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S} chm} (X; \; \ mathrm {Spec} (A)) \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {R} ing ^ {op}} (\ mathcal {O} (X); \; A)

Спектр покладається правим зв'язаних, так як склейки аффінних схем повинні породжувати схеми, які не є аффінним. Склеювання схем по подсхеме є копределом в категорії схем. Так як \ Mathcal {R} ing ^ {op}кополна, то за умови лівої спряженості спектра будь склейка аффінних схем була б аффинной, і нетривіальна (не зводиться до теорії кілець) теорія схем просто не могла б існувати. У світлі сказаного відзначимо також, що, хоча діаграма склейки аффінних схем по подсхеме лежить в кополной категорії аффінних схем, її межа потрібно обчислювати більшою категорії - категорії всіх схем. Це повчальний приклад того, що функтор вкладення категорій не зобов'язаний зберігати межі.


3. Схеми

3.1. Як локально окільцьовані простір

Схема - це локально окільцьовані простір (X, \ mathcal {O} _X) ( X - Топологічний простір, \ Mathcal {O} _X - Пучок кілець на ньому), локально изоморфное афінної схемою. Більш детально, потрібно, щоб існувало таке покриття \ {U_i \} _ {i \ in I} топологічного простору X аффінним схемами U i = Spec A i , Так що обмеження структурного пучка на елементи покриття дає структурні пучки відповідних аффінних схем:

X = \ bigcup_ {i \ in I} U_i
\ Forall i \ in I \ colon \ mathcal {O} _X \ vert_ {U_i} = \ mathcal {O} _ {A_i}

Топологічний простір X називається базисним топологічним простором схеми (X, \ mathcal {O} _X) , А \ Mathcal {O} _X називається структурним пучком. Морфізм схем - це морфізм відповідних локально окільцьованих просторів. Ізоморфізм - морфізм, що має двосторонньо зворотний.


3.2. Як непредставімим пучки

Цей підхід до теорії схем є значно більш абстрактним і вимагає доброго знання теорії категорій. В основі побудов лежать топологія Гротендіка і пучки множин. Ми не будемо його тут розглядати докладно, за деталями звертайтеся до книги [3].

Афінна схема Spec A - Це представимо функтор \ Mathrm {Spec} A \ colon \ mathcal {R} ing \ to \ mathrm {S} et :

Spec A (R) = (A; R)

Серед усіх функторів виділяється особливо важливий і зручний для вивчення клас, званий схемами. А саме, схема X - Це функтор X \ colon \ mathcal {R} ing \ to \ mathrm {S} et , Що є пучком множин щодо топології Гротендіка, породженої відкритими по Зарисского епіморфізмамі кілець, і покривається відкритими по Зарисского відображеннями аффінних схем в категорії функторів \ Left [\ mathcal {R} ing; \ mathcal {S} et \ right] . Схеми, які не є афінності, є непредставімим функторами на категорії кілець. Морфізм схем - це природне перетворення відповідних функторів. Згідно лемі Йонеди,

X (A) = \ left [(A; \ cdot); X \ right] = \ left [\ mathrm {Spec} A; X \ right]

Це твердження встановлює зв'язок з наведеної вище геометричній теорією схем, так як основна теорема про морфізм схем стверджує, що функтор

Y \ colon \ mathcal {S} chm \ to \ left [\ mathcal {A} ff ^ {op}; \ mathcal {S} et \ right]
Y (X) = \ left (\ cdot; X \ right)

є строго повним. При цьому образ вкладення - в точності ті функтори на аффінних схемах, які задовольняють зазначеним вище умовам.

Приклади
  1. Афінна пряма O - Забуває функтор O \ colon \ mathcal {R} ing \ to \ mathcal {S} et , Зіставляє кожному кільцю його підмет безліч. Кільцева структура на ньому задає кільцеву структуру на безлічі [X; O] для будь-якої схеми X , Тому [X; O] називається кільцем функцій на X . Афінна пряма - це афінна схема, вона представляється кільцем многочленів \ Z [T] .
  2. Грассманіан G r, n ( n - Розмірність грассманіана) - це функтор, сопоставляющий кільцю R безліч прямих доданків P рангу r в модулі R r + n . Стрілці \ Phi: R \ to S зіставляється відображення P \ mapsto P \ otimes_R S . Зокрема, \ Bbb {P} _n = G_ {1, n} - N-мірний проективне простір, \ Bbb {P} _1 - Проективна пряма.

4. Операції над схемами

Примітки

  1. Serre, Jean-Pierre (1956), " Gomtrie algbrique et gomtrie analytique - www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 ", Universit de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier Т. 6: 1-42, ISSN 0373-0956 - worldcat.org/issn/0373-0956, doi : 10.5802/aif.59 - dx.doi.org/10.5802/aif.59 , < http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 - www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0>
  2. Пірківської А. Ю. Спектральна теорія і функціональні обчислення для лінійних операторів - М .: МЦНМО, 2010. - 176 с. - 1000 прим . - ISBN 978-5-94057-573-3.
  3. M. Demazure, P. Gabriel Introduction to algebraic geometry and algebraic groups - North-Holland Publishing Company, 1980. - 357 p. - ISBN 0-444-85443-6.

Література

  • Мамфорд Д. Червона книга про многовидах і схемах = The Red Book of Varieties and Schemes - М .: МЦНМО, 2007. - 296 с. - ISBN 978-5-94057-195-7.
  • Хартсхорн Р. Алгебраїчна геометрія = Algebraic Geometry - М .: Світ, 1981. - 597 с.
  • Шафаревич І. Р. Основи алгебраїчної геометрії. - 2е вид .. - М .: Наука, 1988. - Т. 2. Схеми. Комплексні різноманіття. - 304 с. - 5900 екз . - ISBN 5-02-014412-4.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Схема
Різницева схема
Блок-схема
Функціональна схема
Принципова схема
Схема виділення
Структурна схема
Схема перетворення
Схема зірки
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru