Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Сімплектіческое різноманіття



План:


Введення

Сімплектіческое різноманіття - цей різноманіття із заданою на ньому сімплектіческой формою, тобто замкнутої невиродженої 2-формою.

Сімплектіческое різноманіття дозволяє природним геометричним чином ввести гамильтонова механіку і дає наочне тлумачення багатьом її властивостям.


1. Визначення

Диференціальна 2-форма ω називається сімплектіческой структурою, якщо вона невирождена і замкнута, то є її зовнішня похідна дорівнює нулю:

d ω = 0

і для будь ненульового дотичного вектора v \ in T_x M

\ Imath_v \ omega \ 0 ne

де \ Imath_v - Операція підстановки вектора v .

Різноманіття M називається сімплектіческім, якщо на ньому задана сімплектіческая структура.


2. Гамильтонова векторні поля

Нехай H \ colon M \ to \ Bbb R - Довільна функція на сімплектіческом різноманітті. Сімплектіческая структура доводить до відповідність 1-форм на M особливий клас векторних полів, званих Гамільтона, за правилом

dH = \ imath_v \ omega

В силу невиродженого форми ω векторне поле v визначено однозначно, позначимо його I d H . У канонічних координатах це відображення приймає вигляд

\ Dot \ mathbf q = \ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf p}
\ Dot \ mathbf p = - \ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf q}

відповідний рівнянь Гамільтона, при цьому H називається функцією Гамільтона або гамильтонианом. Дужки Пуассона перетворюють безліч гамільтоніаном на M в алгебру Лі та визначено за правилом

[F, G] = ω (I d F, I d G)

3. Пов'язані визначення

  • Діффеоморфізм сімплектіческіх різноманіть f \ colon M \ to N називається сімплектоморфізмом, якщо він зберігає сімплектіческую структуру.

4. Властивості

  • Теорема Дарбу: всі сімплектіческіе різноманіття локально сімплектоморфни. Таким чином, в околиці будь-якої точки різноманіття можна вибрати канонічні координати, звані також координатами Дарбу, в яких сімплектіческая структура набирає вигляду
\ Omega = d \ mathbf p \ wedge d \ mathbf q
При цьому в дотичному просторі кожної точки в даній околиці виявляється обраний базис Дарбу.
  • Гамильтонов фазовий потік зберігає сімплектіческую структуру:
\ L_ {IdH} \, \ omega = 0
Тут L v - похідна Лі по векторному полю v . Таким чином, гамільтонів фазовий потік є сімплектоморфізмом.

5. Контактна структура

З кожним сімплектіческім 2n-мірним різноманіттям канонічним чином пов'язано (2n +1) мірне- контактна різноманіття, зване її контактізаціей. Назад, для будь-якого (2n +1)-мірного контактного різноманіття існує його сімплектізація, що є (2n +2)-мірним різноманіттям.

6. Варіації і узагальнення

Різноманіття називається мультісімплектіческім ступеня k , Якщо на ньому задана замкнута невироджених диференціальна k-форма.

Література

  • Арнольд В. І. Математичні методи класичної механіки - 5-е изд., Стереотипне. - М .: Едіторіал УРСС, 2003. - 416 с. - 1500 екз . - ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. І., Гівенталь А. Б. Сімплектіческая геометрія. 2-ое вид. - К.: РГД, 2000. - 168с.
  • Фоменко А. Т. Сімплектіческая геометрія. Методи та програми. - М .: Вид. МГУ, 1988. - 414с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сімплектіческое простір
Різноманіття
Оснащене різноманіття
Параллелізуемое різноманіття
Диференціюється різноманіття
Лінійне різноманіття
Центральне різноманіття
Інваріантне різноманіття
Різноманіття Уайтхеда
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru