Телескопічний ряд

Телескопічний ряд в математиці - нескінченний ряд, чия сума може бути легко отримана, виходячи з того, що при розкритті дужок майже всі доданки взаємно знищуються. Назва дана за аналогією з стовбуром телескопа, який може зменшити свою довжину, склавшись кілька разів. Подібний прийом підрахунку суми ряду також зустрічається в книгах для школярів під назвою "вовки з'їли один одного".

Найвідоміший приклад такого ряду - сума \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n (n +1)} , Яка спрощується таким чином:

\ Begin {align} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n (n +1)} & {} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {n} - \ frac {1} {n +1} \ right) = \ \ & {} = \ left (1 - \ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} { 2} - \ frac {1} {3} \ right) + \ cdots = \ \ & {} = 1 + \ left (- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ right) + \ left (- \ frac {1} {3} + \ frac {1} {3} \ right) + \ cdots = 1. \ End {align}

Суть телескопічних сум полягає в тому, що кожний доданок ряду представляється у вигляді різниці й тому часткова сума ряду спрощується:

\ Sum_ {i = 1} ^ n (a_i-a_ {i +1}) = (a_1-a_2) + (a_2-a_3) + \ cdots + (a_ {n-1}-a_n) + (a_n-a_ { n +1}) = a_1-a_ {n +1} .

Аналогічно можна уявити собі "телескопічне" твір, тобто нескінченне твір виду:

\ Prod_ {i = 1} ^ n \ frac {a_ {i +1}} {a_i} = \ frac {a_2} {a_1} \ cdot \ frac {a_3} {a_2} \ cdot \ frac {a_4} {a_3 } \ cdots \ frac {a_ {n}} {a_ {n-1}} \ cdot \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ frac {a_ {n +1}} {a_1} .

При підсумовуванні умовно збіжних нескінченних рядів потрібно звертати увагу, що перегрупування доданків може призвести до зміни результату (див. Теорема Рімана про умовно збіжних рядах). Наприклад, "парадокс" з поруч Гранді :

0 = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 0 = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (1-1) = 1 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1 + 1) = 1 \,

Цього можна уникнути, якщо завжди розглядати суму перших n членів, а потім знайти межа при n \ to \ infty .


Приклади

Багато тригонометричні функції дозволяють представлення у вигляді різниці, що дозволяє організувати взаємне знищення відповідних доданків

\ Begin {align} \ sum_ {n = 1} ^ N \ sin \ left (n \ right) & {} = \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {1} {2} \ operatorname {cosec} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left (2 \ sin \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ sin \ left (n \ right) \ right) = \ \ & { } = \ frac {1} {2} \ operatorname {cosec} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ sum_ {n = 1} ^ N \ left (\ cos \ left (\ frac {2n -1} {2} \ right) - \ cos \ left (\ frac {2n +1} {2} \ right) \ right) = \ \ & {} = \ frac {1} {2} \ operatorname {cosec } \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left (\ cos \ left (\ frac {1} {2} \ right) - \ cos \ left (\ frac {2N +1} {2} \ right) \ right). \ End {align}
(X-1) \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ sum_ {k = 0} ^ n (x ^ {k +1}-x ^ k) = x ^ {n +1} - 1.
  • іноді доводиться застосовувати "телескопічне" перетворення два рази:
\ Begin {align} (x-1) ^ 2 \ sum_ {k = 1} ^ n kx ^ {k-1} & = \ sum_ {k = 1} ^ n (kx ^ {k +1} - 2kx ^ k + kx ^ {k-1}) = \ \ & = \ sum_ {k = 1} ^ n [kx ^ {k +1} - (k-1) x ^ k] - \ sum_ {k = 1} ^ n [(k +1) x ^ k-kx ^ {k-1}] = nx ^ {n +1} - (n +1) x ^ n + 1 \ end {align} .

Інший метод обчислення цієї суми - представити доданки у вигляді похідною від геометричній прогресії:

\ Sum_ {k = 1} ^ n kx ^ {k-1} = \ frac {\ rm d} {{\ rm d} x} \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ frac {\ rm d } {{\ rm d} x} \ frac {x ^ {n +1} -1} {x-1} = \ frac {(n +1) x ^ n (x-1) - (x ^ {n +1} -1)} {(x-1) ^ 2} = \ frac {nx ^ {n +1} - (n +1) x ^ n + 1} {(x-1) ^ 2} .