Тензорної алгеброю лінійного простору V (Позначається T (V) ) Називається алгебра тензорів будь-якого рангу над V з операцією тензорного множення.

Також тензорної алгеброю називається відповідний розділ лінійної алгебри (тобто розділ, який займається тензорами, визначеними над одним лінійним простором, на відміну від тензорного аналізу, займається тензорними полями, заданими на дотичному розшаруванні різноманіття і диференціальними співвідношеннями для цих полів).


1. Визначення

Нехай V - векторний простір над полем K. Для будь-якого натурального числа k визначимо k-ую тензорного ступінь V як тензорне твір V на себе k разів:

T ^ kV = V ^ {\ otimes k} = V \ otimes V \ otimes \ cdots \ otimes V

Таким чином, T k V складається з усіх тензорів над V рангу k. Будемо вважати, що T 0 V - це основне поле K (одномірне векторний простір над собою).

Визначимо T (V) як пряму суму T k V для всіх k = 0,1,2, ...

T (V) = \ bigoplus_ {k = 0} ^ \ infty T ^ kV = K \ oplus V \ oplus (V \ otimes V) \ oplus (V \ otimes V \ otimes V) \ oplus \ cdots

Множення в T (V) визначається заданим тензорним твором канонічним изоморфизмом :

T ^ kV \ otimes T ^ \ ell V \ to T ^ {k + \ ell} V

який потім продовжується по лінійності на всю T (V). Таке множення перетворює тензорної алгебри T (V) в градуйовану алгебру.


2. Функторіальность

Тензорна алгебра T (V) - це вільна алгебра векторного простору V. Тензорна алгебра є найбільш загальною алгеброю простору V, тобто будь лінійне відображення f: V \ to A простору V в алгебру A над K може бути продовжено єдиним чином до гомоморфізму \ Bar f: T (V) \ to A . Це твердження виражається комутативної діаграмою :

Universal property of the tensor algebra

де i - канонічне вкладення V в T (V). Тензорної алгебри можна визначити як єдину (з точністю до ізоморфізму) алгебру, що володіє такою властивістю, хоча необхідно ще явно показати, що така алгебра існує.

Таким чином, тензорна алгебра функторіальна, тобто T - це функтор з категорії K-Vect векторних просторів над K в категорію K-Alg K-алгебр.


3. Некомутативних багаточлени

Якщо розмірність V скінченна і дорівнює n, то тензорної алгебри можна розглядати як алгебру многочленів над K з n некомутативними змінними. Базисним векторам V відповідають некомутативних змінні, причому їх множення буде асоціативним, дистрибутивним і K-лінійним.

Зауважимо, що алгебра многочленів над V - це не T (V) , А T (V ^ *) : Однорідна лінійна функція на V є елементом сполученого простору V ^ * .


4. Факторалгебри

В силу спільності тензорної алгебри багато інших важливих алгебри простору V можна отримати, накладаючи певні обмеження на утворюючі елементи тензорної алгебри, тобто ладу факторалгебри від T (V). Наприклад, так можна побудувати зовнішню алгебру, симетричну алгебру і алгебру Кліффорда.

5. Варіації і узагальнення

Конструкція тензорної алгебри над лінійним простором природно узагальнюється до тензорної алгебри над модулем M над коммутативное кільце. Якщо R - некомутативних кільце, можна побудувати тензорне твір для будь-яких R-бімодулей над M. Для звичайних R-модулів виявляється неможливим побудувати кратне тензорне твір.