Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тензор енергії-імпульсу



План:


Введення

Тензор енергії-імпульсу (ТЕІ) - симетричний тензор другому валентних (рангу), що описує щільність і потік енергії і імпульсу полів матерії [1], і визначає взаємодію цих полів з гравітаційним полем.

Тензор енергії-імпульсу є подальшим релятивістським узагальненням понять енергії і імпульсу класичної механіки суцільного середовища. Близьким до нього поняттям-узагальненням є 4-вектор енергії-імпульсу частинки в спеціальної теорії відносності.


1. Компоненти тензора енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:

T_ {\ mu \ nu} \ = \ \ left (\ begin {matrix} T_ {00} & T_ {01} & T_ {02} & T_ {03} \ \ T_ {10} & T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \ \ T_ {20} & T_ {21} & T_ {22} & T_ {23} \ \ T_ {30} & T_ {31} & T_ {32} & T_ {33} \ end {matrix} \ right).

У ньому виявляються такі фізичні величини:

  • T 00 - об'ємна щільність енергії. Як правило, вона повинна бути позитивною, однак теоретично допускається існування локальних просторових областей з негативною щільністю енергії. Зокрема, таку область можна створити за допомогою ефекту Казимира [2].
  • T 10, T 20, T 30 - щільності компонент імпульсу, помножені на c.
  • T 01, T 02, T 03 - компоненти потоку енергії ( вектора Пойнтінга), поділені на c. В силу симетрії T μν дотримується рівність: T = T μ0
  • Подматріца 3 x 3 з чисто просторових компонент:
T_ {ik} \ = \ \ left (\ begin {matrix} T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \ \ T_ {21} & T_ {22} & T_ {23} \ \ T_ {31 } & T_ {32} & T_ {33} \ end {matrix} \ right)

є тензор напружень (матриця потоків імпульсів). У механіці рідини діагональні її компоненти відповідають тиску, а інші складові - тангенціальним зусиллям (напруженням або в старій термінології - натяг), викликаним в'язкістю.

Для рідини в спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці ~ {\ Rm {diag}} ({{\ rho} c ^ 2}, ~ p, ~ p, ~ p) , Де ~ {\ Rho} є щільність маси, а ~ P - Гідростатичний тиск.


2. Канонічний тензор енергії-імпульсу

У спеціальній теорії відносності фізичні закони однакові у всіх точках простору-часу, тому трансляції 4-координат не повинні змінювати рівнянь руху поля. Таким чином, згідно теоремі Нетер, нескінченно малим просторово-тимчасовим трансляціям повинен відповідати зберігається нетеровскій потік, який в даному випадку називається канонічним ТЕІ.

Для лагранжиана (щільності функції Лагранжа) \ Mathcal {L} _ \ mathrm {M} = \ mathcal {L} _ \ mathrm {M} (\ phi_i, \ partial_ {\ mu} \ phi_i) , Що залежить від польових функцій \ Phi_i \, і їх перших похідних, але не залежить від координат, функціонал дії буде інваріантний щодо трансляцій:

\ Begin {cases} x ^ {\ mu} \ to x ^ {\ prime \ mu} = x ^ {\ mu} + \ delta x ^ {\ mu} \ \ \ phi_i (x) \ to \ phi_i ^ { \ prime} (x ^ {\ prime}) = \ phi_i (x). \ End {cases}

З теореми Нетер буде слідувати закон збереження канонічного ТЕІ (записаний в галілеєвих координатах)

{{T_c} ^ \ mu} _ \ nu (x) = \ sum ^ {n} _ {i = 1} \ frac {\ partial \ mathcal {L} _ \ mathrm {M}} {\ partial (\ partial_ {\ mu} \ phi_ {i})} \ partial_ {\ nu} \ phi_ {i} - \ mathcal {L} _ \ mathrm {M} \ delta ^ \ mu_ \ nu,

який має вигляд

\ Partial_ {\ mu} {T ^ \ mu} _ \ nu \ equiv T ^ \ mu_ {\ nu, \; \ mu} = 0.

Канонічний ТЕІ в повністю контраваріантном вигляді має форму

T ^ {\ mu \ nu} = g ^ {\ nu \ rho} \, {T ^ \ mu} _ \ rho = \ sum ^ {n} _ {i = 1} \ frac {\ partial \ mathcal {L } _ \ mathrm {M}} {\ partial (\ partial_ {\ mu} \ phi_ {i})} \ partial ^ {\ nu} \ phi_ {i} - \ mathcal {L} _ \ mathrm {M} g ^ {\ mu \ nu}.

Цей тензор неоднозначний. Властивість неоднозначності можна використовувати для приведення, взагалі кажучи, несиметричного тензора T ^ {\ mu \ nu} \, до симметризовавший увазі додаванням тензорної величини \ Frac {\ partial \ psi ^ {\ mu \ nu \ lambda}} {\ partial x ^ {\ lambda}} \;, де тензор \ Psi ^ {\ mu \ nu \ lambda} \; антісімметрічен по двом останнім індексами \ Psi ^ {\ mu \ nu \ lambda} = - \ psi ^ {\ mu \ lambda \ nu} \, . Дійсно, для симметризовавший ТЕІ

\ Theta ^ {\ mu \ nu} = T ^ {\ mu \ nu} + \ partial_ \ lambda \ psi ^ {\ mu \ nu \ lambda}

автоматично слід закон збереження \ Partial_ \ nu \ Theta ^ {\ mu \ nu} = 0.


3. Метричний тензор енергії-імпульсу

В загальної теорії відносності так званий метричний ТЕІ T ^ {\ mu \ nu} (x) виражається через варіаційну похідну по метричного тензора g_ {\ mu \ nu} в точці x простору-часу від інваріантної щодо замін координат лагранжевой щільності функціонала дії:

{T_m} ^ {\ mu \ nu} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta (\ sqrt {-g} \ mathcal {L} _ \ mathrm {M} )} {\ delta g_ {\ mu \ nu} (x)} = g ^ {\ mu \ nu} \ mathcal {L} _ \ mathrm {M} - 2 \ frac {\ delta \ mathcal {L} _ \ mathrm {M}} {\ delta g_ {\ mu \ nu}} =
= \ Frac {2} {\ sqrt {-g}} \ left (\ frac {\ partial (\ sqrt {-g} \ mathcal {L} _ \ mathrm {M})} {\ partial g_ {\ mu \ nu} (x)} - \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ lambda} \ frac {\ partial (\ sqrt {-g} \ mathcal {L} _ \ mathrm {M})} {\ partial \ displaystyle \ frac {\ partial g_ {\ mu \ nu} (x)} {\ partial x ^ \ lambda}} + \ ldots \ right),

де g (x) = \ det \ left (g_ {\ mu \ nu} (x) \ right). Цей тензор енергії-імпульсу очевидно симетричний. В рівняння Ейнштейна метричний ТЕІ входить в якості зовнішнього джерела гравітаційного поля:

\ Frac {c ^ 4} {8 \ pi G} \ left (R_ {\ mu \ nu} - \ frac {1} {2} g_ {\ mu \ nu} R + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} \ right) = T_ {\ mu \ nu} (x),

де R_ {\ mu \ nu} - тензор Річчі, R = g ^ {\ mu \ nu} R_ {\ mu \ nu} - скалярна кривизна. Для цього тензора в силу інваріантності дії щодо координатних підстановок справедливий диференціальний закон збереження у вигляді

T ^ \ mu_ {\ nu; \ mu} = 0.

4. Тензор енергії-імпульсу в класичній електродинаміці

В класичної електродинаміки тензор енергії-імпульсу електромагнітного поля в системі СІ має вигляд:

T_ {00} = \ frac {\ mathbf E \ cdot \ mathbf D} {2} + \ frac {\ mathbf B \ cdot \ mathbf H} {2}
\ Begin {pmatrix} T_ {01} & T_ {02} & T_ {03} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} T_ {10} & T_ {20} & T_ {30} \ end {pmatrix} = \ frac {1} {c} \ left [\ mathbf E \ times \ mathbf H \ right]
T_ {ij} = E_i D_j + B_i H_j - \ frac {1} {2} \ delta_ {ij} (\ mathbf E \ cdot \ mathbf D + \ mathbf B \ cdot \ mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \ delta_ {ij} T_ {00} [3]


В коваріантною формі можна записати:

T ^ {\ mu \ nu} = - \ frac {1} {\ mu_0} [F ^ {\ mu \ alpha} F_ {\ alpha} {} ^ {\ nu} + \ frac {1} {4} \ eta ^ {\ mu \ nu} F_ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta}] \,.

5. Тензор енергії-імпульсу в квантовій теорії поля

Примітки

  1. Полями матерії (матеріальними полями) в загальної теорії відносності традиційно називаються всі поля, крім гравітаційного.
  2. M. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition - prola.aps.org/abstract/PRL/v61/i13/p1446_1, Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446-1449
  3. Максвелла тензор натяжений - www.femto.com.ua/articles/part_1/2140.html / / Фізична енциклопедія / Д. М. Алексєєв, А. М. Балдін, А. М. Бонч-Бруєвич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовський, А. В. Гапонов-Гріхів, С. С. Герштейн, І. І. Гуревич, А. А. Гусєв, М. А. Ельяшевіч, М. Е. Жаботинський, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, І. С. Шапіро, Д. В. Ширков; під заг. ред. А. М. Прохорова. - М .: Радянська енциклопедія, 1988-1998.

Література


Найбільш відома формула з ОТО - закон збереження енергії-маси Це заготовка статті по фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши і доповнивши її.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Момент імпульсу
Момент імпульсу
Закон збереження імпульсу
Закон збереження моменту імпульсу
Тензор
4-тензор
Метричний тензор
Тензор кривизни
Тензор Річчі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru