Теорема Гільберта 90 - одне з основних тверджень для кінцевих циклічних розширень Галуа E K.


1. Мультиплікативна форма

Нехай G - група Галуа кінцевого циклічного розширення E / K c утворює σ. Тоді норма будь-якого елемента β E дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли існує ненульовий елемент α E, що β = α / σ (α).

2. Доказ

Достатність очевидна: якщо β = α / σ (α) то враховуючи мультипликативность норми маємо N (β) = N (α) / N (σ (α)). Так як норма для сепарабельного розширень дорівнює добутку всіх σ i (α), а попереднє застосування σ призводить лише до перестановки співмножників, то в силу рівності чисельника і знаменника N (β) = 1.

Для доказу необхідності випишемо наступне відображення:

id + βσ + (βσ (β)) σ 2 + ... + (βσ (β) ... σ n-2 (β)) σ n-1

Згідно з теоремою про лінійної незалежності характерів це відображення не є тотожним нулем. Тому існує елемент γ E, для якого

α = γ + βσ (γ) + (βσ (β)) σ 2 (γ) + ... + (βσ (β) (γ) ... σ n-2 (β)) σ n-1 (γ )

Якщо застосувати відображення σ до α, а потім помножити отримане вираз на β, то перший доданок перейде в друге і т.д., а останнім перейде в перший, так як βσ (β) ... σ n-1 (β) = N (β) = 1, а σ n = id;

Тоді отримуємо, що βσ (α) = α, ділячи на σ (α) ≠ 0 маємо β = α / σ (α). Необхідність доведена.


3. Адитивна форма

Нехай G - група Галуа кінцевого циклічного розширення E / K c утворює σ. Тоді слід будь-якого елемента β E дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли існує ненульовий елемент α E, що β = α-σ (α).


Доказ достатній повністю аналогічно мультиплікативного нагоди, а для необхідності беремо елемент γ E, для якого Tr (γ) ≠ 0 і будуємо необхідну α у вигляді:

α = (1/Tr (γ)) [βσ (γ) + (β + σ (β)) σ 2 (γ) + ... + (β + σ (β) + ... σ n-2 ( β)) σ n-1 (γ)]

Тоді отримуємо, що β = α-σ (α). Необхідність доведена.



Література

  • Ленг С. Алгебра-М:, Світ, 1967