Теорема Лежандра в сферичної тригонометрії дозволяє спростити рішення сферичного трикутника, якщо відомо, що його сторони досить малі в порівнянні з радіусом сфери, на якій він розташований.


Формулювання

Сферичний трикутник.

Нехай дано сферичний трикутник зі сторонами a, b, c \, , Малими в порівнянні з радіусом сфери R \, , Кутами \ Alpha, \ beta, \ gamma \, і ексцесом \ Varepsilon = \ alpha + \ beta + \ gamma-\ pi \, . Побудуємо на площині трикутник зі сторонами a ', b', c '\, , Рівними по довжині відповідним сторонам даного сферичного трикутника, тобто, оскільки для сторін сферичного трикутника прийнята кутова міра, і вони виражаються в радіанах, то a '= aR, b' = bR, c '= cR \, . Позначимо кути такого трикутника (виражені в радіанах) через \ Alpha ', \ beta', \ gamma '\, . Теорема Лежандра стверджує, що справедливі співвідношення [1] :

\ Alpha '\ approx \ alpha-\ frac {\ varepsilon} {3}
\ Beta '\ approx \ beta-\ frac {\ varepsilon} {3}
\ Gamma '\ approx \ gamma-\ frac {\ varepsilon} {3}

Таким чином, якщо сторони сферичного трикутника малі в порівнянні з радіусом сфери, ми можемо замінити його на плоский трикутник з такими ж по довжині сторонами і на третину ексцесу меншими кутами і обчислювати елементи плоского трикутника.


Історія

Ця теорема була сформульована А.М.Лежандром в 1787 році [2] і доведена їм в 1798 році [3]. Однак, за деякими джерелами, вона була відома ще в 1740 році, коли Ш.М.де ла Кондамін використовував її при обробці градусних вимірювань перуанської експедиції [4].

Примітки

  1. Степанов М. М. 55. Теорема Лежандра / / Сферична тригонометрія. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 141-143. - 154 с.
  2. Legendre AM: Mmoire sur les oprations trigonomtriques, dont les rsultats dpendent de la figure de la Terre. Histoire de l'Acadmie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.
  3. Legendre AM: Mthode pour dterminer la longueur exacte du quart du mridien d'aprs les observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Rsolution des triangles sphriques dont des cts sont trs petits par rapport au rayon de la sphre. JB Delembre: Mthodes analytiques pour la dtermination d'un arc du mridien, Paris 1798; 12-14
  4. Zbyněk Ndenk Legendre Theorem On Spherical triangles - www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb2005/Sbornik_50_let_VUGTK/Part_1-Scientific_Contribution/2-Nadenik.pdf.
Перегляд цього шаблону Сферична тригонометрія
Основні поняття Сферичний трикутник Полярний трикутник Ексцес Двуугольнік
Формули і співвідношення Теореми косинусів Теорема синусів Формула п'яти елементів Формула половини сторони Мнемонічне правило Непера Сферична теорема Піфагора Формули Деламбр Формули аналогією Непера Теорема Лежандра Розв'язування трикутників
Пов'язані теми Сферична система координат Сферична геометрія Тригранний кут