Теорема Лейбніца про збіжність Знакозмінні рядів

Теорема Лейбніца (ознака Лейбніца) - теорема про умовної збіжності Знакозмінні рядів, сформульована німецьким математиком Лейбніцем.


1. Формулювання

Теорема формулюється таким чином. Знакозмінні ряд

S = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty b_i

сходиться, якщо виконуються обидві умови:

  1. \ Left | b_ {i +1} \ right | <\ left | b_i \ right |; \,
  2. \ Lim_ {i \ to \ infty} b_i = 0.
Доказ [1]

Припустимо, що ряд починається з позитивного числа (в іншому випадку за наведеним нижче доказу слід розглядати збіжність ряду, який починається з другого члена).

2n-ая часткова сума даного ряду дорівнює S_ {2n} = b_1 + \ left (b_2 + b_3 \ right) + \ left (b_4 + b_5 \ right) + \ dots + \ left (b_ {2n - 2} + b_ {2n - 1} \ right) + b_ {2n}. Так як кожна сума в дужках непозитивно і b_ {2n} <0, то звідси випливає обмеженість 2n-ої часткової суми зверху числом b_1.

Також та ж 2n-ая сума дорівнює S_ {2n} = \ left (b_1 + b_2 \ right) + \ left (b_3 + b_4 \ right) + \ dots + \ left ({b_ {2n - 1} + b_ {2n}} \ right). Кожна сума в дужках неотрицательна. Звідси випливає неубиваніе послідовності S_ {2n}, тобто для будь-якого n \ in N виконується S_ {2n} \ leqslant S_ {2n + 2}.

З першого речення докази ця послідовність обмежена зверху. Значить, існує таке число s, що \ Lim_ {n \ to \ infty} S_ {2n} = s.

Далі, так як S_ {2n + 1} = S_ {2n} + b_ {2n + 1} \, і так як \ Lim_ {n \ to + \ infty} b_n = 0, то \ Lim_ {n \ to \ infty} S_ {2n + 1} = s. Сума даного ряду дорівнює S_ {2n} = S_ {2n + 1} = s, \, де s - Кінцеве число. Доказ збіжності завершено.


2. Слідство

З теореми Лейбніца випливає наслідок, дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду:

S_n = \ sum_ {i = 1} ^ n b_i.

Залишок сходящегося Знакозмінні ряди R_n = S - S_n \, буде по модулю менше першого відкинутого доданка:

\ Left | R_n \ right | <\ left | b_ {n +1} \ right |.
Доказ [1]

Послідовність S_ {2k} монотонно зростаюча, так як S_ {2k} = \ sum \ limits_ {i = 2} ^ {i = n} {\ left ({b_ {2i - 1} - b_ {2i}} \ right)}, а вираз b_ {2i - 1} - b_ {2i} неотрицательно при будь-якому цілому i. Послідовність S_ {2k - 1} монотонно убуває, так як S_ {2k + 1} = S_ {2k - 1} - \ left ({b_ {2k} - b_ {2k + 1}} \ right), а вираз в дужках неотрицательно. Як вже доведено при доказі самої теореми Лейбніца, в обох цих послідовностей - S_ {2k} і S_ {2k - 1} - Співпадаючий межа при k \ to + \ infty. Так отримано S_ {2k} \ leqslant s \ leqslant S_ {2k - 1} і також s \ leqslant S_ {2k + 1}. Звідси 0 \ leqslant s - S_ {2k} \ leqslant S_ {2k + 1} - S_ {2k} = b_ {2k + 1} і 0 \ leqslant S_ {2k - 1} - s \ leqslant S_ {2k - 1} - S_ {2k} = b_ {2k}. Отже, для будь-якого k виконується \ Left | {s - S_k} \ right | \ leqslant b_ {k + 1}, що й потрібно було довести.


Джерела

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Довідник з математики. - Вид. 7-е, стереотипне. - М .: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1967. - С. 296.

Примітки

  1. 1 2 Беклемішев Д. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри: Учеб. для вузів. - 10-е изд., Испр. - М .: Физматлит, 2005.
Перегляд цього шаблону Ознаки збіжності рядів
Для знакоположітельних
рядів
Необхідна умова Основний критерій Ознака порівняння Ознака Куммера Ознака Гауса Радикальний ознака Коші Інтегральний ознака Ознака Д'Аламбера Ступеневій ознака Логарифмічний ознака Ознака Раабе Ознака Бертрана Ознака Жаме Ознака Єрмакова Ознака Лобачевського Ознака Реткеса (англ.) Телескопічний ознака \ Sum ^ \ infty_ {n = 1} a_n
Для Знакозмінні
рядів
Ознака Лейбніца
Для рядів виду \ Sum ^ \ infty_ {n = 1} a_n b_nОзнака Абеля Ознака Дедекинда Ознака Дюбуа-Реймона Ознака Діріхле
Для функціональних рядів Ознака Вейєрштрасса
Для рядів Фур'є Ознака Діні Ознака Валле-Пуссена Ознака Жордана Ознака Юнга Ознака Салема Ознака Лебега Ознака Лебега-Гергієв Ознака Марцинкевича