Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Менелая



План:


Введення

Теорема Менелая або теорема про трансверсалях або теорема про повне четирехсторонніке - це класична теорема афінної геометрії.


1. Формулювання

Teorema menelaya.gif

Якщо точки A ', B' і C ' лежать відповідно на сторонах B C, C A і A B трикутника \ Triangle ABC або на їх продовженнях [1], то вони колінеарні тоді і тільки тоді, коли

\ Frac {AB '} {B'C} \ cdot \ frac {CA'} {A'B} \ cdot \ frac {BC '} {C'A} =- 1.

де \ Frac {AB '} {B'C} , \ Frac {CA '} {A'B} і \ Frac {BC '} {C'A} позначають відносини спрямованих відрізків.


Зокрема, із теореми випливає співвідношення для довжин:

\ Frac {| AB'|}{| B'C |} \ cdot \ frac {| CA'|}{| A'B |} \ cdot \ frac {| BC'|}{| C'A |} = 1.
Доказ

Проведемо через точку С пряму, паралельну прямій AB, і позначимо через K точку перетину цієї прямої з прямою A'C '. Оскільки трикутники \ Triangle AC'B ' і \ Triangle CKB ' подібні (по двох кутах), то

\ Frac {| AC'|}{| CK |} = \ frac {| B'A |} {| B'C |} .

Так як подібними є також трикутники \ Triangle BC'A ' і \ Triangle CKA ' , Тим самим

\ Frac {| CK |} {| C'B |} = \ frac {| A'C |} {| BA '|} .

Виключаючи CK, отримуємо

\ Frac {| AC'|}{| C'B |} \ cdot \ frac {| BA'|}{| A'C |} \ cdot \ frac {| CB'|}{| B'A |} = 1 .

Залишається зауважити, що можливі два розташування точок A ', B' і C ' : Або дві з них лежать на відповідних сторонах трикутника, а третя - на продовженні, або всі три лежать на продовженнях відповідних сторін. Звідси для відносин спрямованих відрізків маємо

\ Frac {AB '} {B'C} \ cdot \ frac {CA'} {A'B} \ cdot \ frac {BC '} {C'A} =- 1.

2. Варіації і узагальнення

  • Тригонометричний еквівалент:
\ Frac {\ sin \ angle BAA '} {\ sin \ angle A'AC} \ cdot \ frac {\ sin \ angle CBB'} {\ sin \ angle B'BA} \ cdot \ frac {\ sin \ angle ACC '} {\ sin \ angle C'CB} =- 1 , Де всі кути - орієнтовані.
  • У сферичної геометрії теорема Менелая набуває вигляду
\ Frac {\ sin | AB '|} {\ sin | B'C |} \ cdot \ frac {\ sin | CA' |} {\ sin | A'B |} \ cdot \ frac {\ sin | BC ' |} {\ sin | C'A |} = 1.
  • В геометрії Лобачевського теорема Менелая набуває вигляду
\ Frac {\ operatorname {sh} | AB '|} {\ operatorname {sh} | B'C |} \ cdot \ frac {\ operatorname {sh} | CA' |} {\ operatorname {sh} | A'B |} \ cdot \ frac {\ operatorname {sh} | BC '|} {\ operatorname {sh} | C'A |} = 1.
  • Теорема Менелая є наслідком наступної теореми:

Теорема (Дубовик ): Розглянемо на комплексній площині позитивно орієнтований ΔАВС (обхід по його вершин здійснюється проти годинникової стрілки). Нехай z 1 , z 2 , z 3 - комплексні числа, причому \ Frac {z_1z_2z_3} {(z_1-1) (z_2-1) (z_3-1)} = 1 . Розглянемо точки площині А 1, В 1, С 1 с комплексними координатами:

\ Begin {cases} a_1 = (ac) z_1 + c; \ \ b_1 = (ba) z_2 + a; \ \ c_1 = (cb) z_3 + b. \ end {cases}

Точки А 1, В 1, З 1 колінеарні тоді і тільки тоді, коли число \ Frac {z_1} {1-z_2} \ in R .

Дійсність одного з чисел z 1 , z 2 , z 3 , В даній теоремі, тягне дійсність двох інших. Тоді точки А 1, В 1, С 1 лежать на прямих АС, АВ і ВС відповідно і ми отримуємо теорему Менелая.


3. Історія

Ця теорема доводиться в третій книзі "Сферика" Менелая Олександрійського (бл. 100 р. н. е..). Менелай спочатку доводить теорему для плоского випадку, а потім центральним проектуванням переносить її на сферу. Можливо, що плоский випадок теореми розглядався раніше в незбережених "Порізмах" Евкліда.

Сферична теорема Менелая була основним засобом, за допомогою якого вирішувалися різноманітні прикладні завдання позднеантичной та середньовічної астрономії та геодезії. Їй присвячено ряд творів під назвою "Книга про фігуру січних", складених такими математиками середньовічного Сходу, як Сабіт ібн Корра, ан-Насаві, ал-Магріба, ас-Сіджізі, ас-Салар, Джабір ібн Афлах, Насир ад-Дін ат-Тусі.

Італійський математик Джованні Чева в 1678 році запропонував доказ теореми Менелая і близької їй теореми Чеви для плоского випадку, засноване на розгляді центру ваги системи з трьох точкових вантажів.


4. Застосування

Примітки

  1. на самих сторонах може лежати рівно дві або жодної точки

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема
Пі-теорема
H-теорема
Теорема Шура
Теорема Машка
Теорема Мінковського
Теорема Жордана
Теорема Кантора
Теорема Гільберта 90
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru