Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Нетер



План:


Введення

Теорема Еммі Нетер стверджує, що кожній безперервної симетрії фізичної системи відповідає деякий закон збереження. Так, закон збереження енергії відповідає однорідності часу, закон збереження імпульсу - однорідності простору, закон збереження моменту імпульсу - Ізотропія простору, закон збереження електричного заряду - калібрувальної симетрії і т. д.

Теорема зазвичай формулюється для систем, що володіють функціоналом дії, і висловлює собою інваріантність лагранжіана по відношенню до деякої безперервної групі перетворень.

Теорема встановлена ​​в роботах вчених Геттінгенському школи Д. Гільберта, Ф. Клейна і Е. Нетер. У найбільш поширеною формулюванні була доведена Еммі Нетер в 1918.


1. Формулювання

1.1. Класична механіка

Кожній однопараметричної групі діффеоморфізмов g s (q i) , Що зберігають функцію Лагранжа, відповідає перший інтеграл системи, рівний

I = \ sum ^ n_ {i = 1} \ left (\ frac {d} {ds} g ^ s (q_i) \ right) \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i}

У термінах інфінітезімальних перетворень, нехай інфінітезімальное перетворення координат має вигляд

g ^ s (\ vec q) = \ vec q_0 + s \ vec \ psi (\ vec q, \; t)

і функція Лагранжа L (q, \; \ dot q, \; t) інваріантна щодо цих перетворень, тобто

\ Frac {d} {ds} L (\ vec q_0 + s \ vec \ psi (\ vec q, \; t), \; \ dot {\ vec q_0} + s \ dot {\ vec \ psi} (\ vec q, \; t), \; t) = 0

Тоді у системи існує перший інтеграл, рівний

I = \ left (\ vec \ psi (\ vec q, \; t); \; \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {\ vec q}} \ right) = \ sum ^ n_ {i = 1} \ psi_i (\ vec q, \; t) \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i}.

Теорему можна узагальнити на випадок перетворень, які зачіпають також і час, якщо уявити її рух як залежне від деякого параметра τ , Причому в процесі руху t = τ . Тоді з перетворень

g ^ s (\ vec q) = \ vec q_0 + s \ vec \ psi (\ vec q, \; t)
g ^ s (t) = t_0 + s \ xi (\ vec q, \; t)

слід перший інтеграл

I = \ xi L + \ left (\ vec \ psi - \ xi \ dot {\ vec q}; \; \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {\ vec q}} \ right)

1.2. Теорія поля

Теорема Нетер допускає пряме узагальнення на випадки систем з нескінченним числом ступенів свободи, прикладом яких є гравітаційне і електромагнітне поле. А саме, нехай функція Лагранжа системи залежить від n потенціалів, що залежать, у свою чергу, від k координат. Функціонал дії буде мати вигляд

S = \ int L (A ^ i, \; \ partial_ \ mu A ^ i, \; x ^ \ mu) \, d \ Omega, \ quad i = 1, \ ldots, \; n, \ quad \ mu = 1, \; \ ldots, \; k, \ quad d \ Omega = dx ^ 1 \ ldots dx ^ k.

Нехай однопараметричної група g s діффеоморфізмов простору потенціалів зберігає функцію Лагранжа, тоді зберігається вектор

J ^ \ mu = \ left (\ frac {d} {ds} g ^ s A ^ i \ right) \ frac {\ partial L} {\ partial (\ partial_ \ mu A ^ i)},

званий вектором потоку Нетер. За повторюваним індексам мається на увазі підсумовування, \ Partial_ \ mu = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ mu} . Сенс збереження вектора потоку Нетер в тому, що

\ \ Partial_ \ mu J ^ \ mu = 0,

тому потік J через будь-яку замкнену поверхню в просторі координат дорівнює 0. Зокрема, якщо виділити серед координат одну, звану часом, і розглянути гіперплощини постійного часу, то потік J через таку гіперплоскость постійний в часі, за умови досить швидкого спадання поля на нескінченності і некомпактного гіперповерхні, щоб потік вектора через бічну межу області простору між двома гіперповерхні дорівнював 0. У класичній теорії поля такою властивістю володіє, наприклад, тензор енергії-імпульсу для електромагнітного поля. У вакуумі лагранжіан поля не залежить явно від координат, тому є зберігається величина, яку асоціюють з потоком енергії-імпульсу.


2. Закони збереження

У класичній механіці закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу виводяться з однорідності / ізотропності лагранжіана системи - лагранжіан (функція Лагранжа) не змінюється з часом сам по собі і не змінюється перенесенням або поворотом системи в просторі. По суті це означає те, що при розгляді якоїсь замкнутої в лабораторії системи будуть отримані одні і ті ж результати - незалежно від розташування лабораторії і час проведення експерименту. Інші симетрії лагранжіана системи, якщо вони є, відповідають іншим зберігається в даній системі величин ( інтегралам руху); наприклад, симетрія лагранжіана гравітаційної та кулонівської задачі двох тіл призводить до збереження не тільки енергії, імпульсу і моменту імпульсу, але й вектора Лапласа - Рунге - Ленца.


3. Програми

Теорема Нетер дозволяє отримувати значну інформацію про властивості розв'язків системи диференціальних рівнянь, грунтуючись лише на їх симетрії. Вона також є одним з методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь, тому що дозволяє в деяких випадках знаходити перші інтеграли системи рівнянь і таким чином знижувати число невідомих функцій. Наприклад:

У випадку рівнянь в приватних похідних необхідно, взагалі кажучи, шукати нескінченне число перших інтегралів. Навіть знаючи їх, зазвичай нелегко виписати спільне рішення.

В силу своєї фундаментальності, теорема Нетер використовується в таких галузях фізики, як квантова механіка, для самого введення понять імпульсу, моменту імпульсу і т. д. Інваріантність рівнянь щодо деяких симетрій стає єдиною суттю цих величин і гарантує їх збереження.

У квантовій теорії поля аналогом теореми Нетер є тотожності Уорда - Такахасі (англ.), що дозволяють отримати додаткові закони збереження. Наприклад, збереження електричного заряду випливає з інваріантності фізичної системи щодо зміни фази комплексної хвильової функції частинки і відповідної калібрування векторного і скалярного потенціалу електромагнітного поля.

Заряд Нетер також використовується для обчислення ентропії стаціонарної чорної діри [1].


Примітки

  1. Calculating the entropy of stationary black holes - arxiv.org/abs/gr-qc/9503052. (Англ.)

Література

  • Арнольд В. І. Математичні методи класичної механіки, вид. П'яту, - М .: Едіторіал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ібрагімов Н. Х. Групи перетворень в математичній фізиці. - М .: Наука, 280 с., 1983 р.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Нетер, Еммі
Нетер модуль
H-теорема
Пі-теорема
Теорема
Теорема Аполлонія
Теорема Барб'є
Теорема Машка
Теорема Стюарта
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru