Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Піфагора


Right triangle blue.png

План:


Введення

Right triangle blue.png

Теорема Піфагора - одна з основоположних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.


1. Формулювання

Теорема Піфагора: Сума площ квадратів, що спираються на катети (a і b), дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі (c).

Геометрична формулювання:

Спочатку теорема була сформульована таким чином:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Алгебраїчна формулювання:

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c , А довжини катетів через a і b :

a 2 + b 2 = c 2

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотній теорема Піфагора:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a , b і c , Такий, що a 2 + b 2 = c 2 , Існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c .



2. Докази

На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми [1]. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Даний факт навіть знайшов відображення в художній літературі: в повісті "Пригоди Електроніка" Євгенія Велтистова головний герой на шкільному уроці математики призводить біля дошки 25 різних доказів теореми Піфагора, вкинувши в здивування вчителя і всіх однокласників.

Зрозуміло, концептуально всі їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).


2.1. Через подібні трикутники

Наступне доказ алгебраїчній формулювання - найбільш просте із доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.

Podobnye treugolniki proof.png

Нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її підставу через H. Трикутник ACH подібний трикутнику ABC з двох кутах. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC. Ввівши позначення

| B C | = a, | A C | = b, | A B | = c

отримуємо

\ Frac {a} {c} = \ frac {| HB |} {a}; \ frac {b} {c} = \ frac {| AH |} {b}.

Що еквівалентно

a ^ 2 = c \ cdot | HB |; b ^ 2 = c \ cdot | AH |.

Склавши, отримуємо

a ^ 2 + b ^ 2 = c \ cdot \ left (| HB | + | AH | \ right) = c ^ 2.

або

a 2 + b 2 = c 2 , Що й потрібно було довести

2.2. Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їх позірну простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

2.2.1. Доказ через равнодополняемость

Рис.1
  1. Розташуємо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на малюнку 1.
  2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 , а розгорнутий кут - 180 .
  3. Площа всієї фігури рівна, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і площі внутрішнього квадрата.
(A + b) ^ 2 = 4 \ cdot \ frac {ab} {2} + c ^ 2;
a ^ 2 +2 ab + b ^ 2 = 2ab + c ^ 2; \ frac {} {}
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2; \ frac {} {}

Що й було потрібно довести.


2.2.2. Доказ Евкліда

Креслення до доказу Евкліда
Ілюстрація до доказу Евкліда

Ідея докази Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді й площі великого і двох малих квадратів рівні.

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута З промінь s перпендикулярно гіпотенузі AB, він розтинає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутника - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників в точності дорівнюють площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата дорівнює площі прямокутника DECA AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією ж висотою і підставою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини твори підстави на висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, в свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (так як площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивості). Рівність це очевидно: трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними. Саме - AB = AK, AD = AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90 проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох розглянутих трикутників співпадуть (зважаючи на те, що кут при вершині квадрата - 90 ).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічно.

Тим самим ми довели, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея даного докази додатково проілюстрована за допомогою анімації, розташованої вище.

Дане доказ також отримало назву " Піфагорові штани ".


2.2.3. Доказ Леонардо да Вінчі

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи докази - симетрія і рух.

Розглянемо креслення, як видно із симетрії, відрізок C I розсікає квадрат A B H J на дві однакові частини (так як трикутники A B C і J H I рівні з побудови).

Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо точки A , Ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур C A J I і D A B G .

Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.


2.3. Доказ методом нескінченно малих

Наступне доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX століття.

Розглядаючи креслення, показаний на малюнку, і спостерігаючи зміна боку a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих приростів сторін с і a (використовуючи подобу трикутників):

Доказ методом нескінченно малих
\ Frac {da} {dc} = \ frac {c} {a}

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

c \, dc = a \, da

Більш загальний вираз для зміни гіпотенузи у разі збільшень обох катетів

c \ dc = a \, da + b \, db

Інтегруючи це рівняння і використовуючи початкові умови, отримуємо

c 2 = a 2 + b 2 + constant.
a = b = c = 0 \ Rightarrow \ mathrm {constant} = 0

Таким чином, ми приходимо до бажаного відповіді

c 2 = a 2 + b 2.

Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і збільшенням, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від приросту різних катетів.

Більш просте доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет b ). Тоді для константи інтегрування отримаємо

a = 0 \ Rightarrow c ^ 2 = b ^ 2 = \ mathrm {constant}.

3. Варіації і узагальнення

c ^ 2 = a ^ 2 + b \ cdot d
  • У будь-якому рівнобедреному трикутнику вірно наступне співвідношення (див. малюнок внизу праворуч) [2] :
    c ^ 2 = a ^ 2 + b \ cdot d
  • Якщо замість квадратів побудувати на катетах інші подібні фігури, то вірно наступне узагальнення теореми Піфагора: У прямокутному трикутнику сума площ подібних фігур, побудованих на катетах, дорівнює площі фігури, побудованої на гіпотенузі. Зокрема:
    • Сума площ правильних трикутників, побудованих на катетах, дорівнює площі правильного трикутника, побудованого на гіпотенузі.
    • Сума площ півкіл, побудованих на катетах (як у діаметрі), дорівнює площі півкола, побудованого на гіпотенузі. Цей приклад використовується при доказі властивостей фігур, обмежених дугами двох кіл і носять ім'я Гиппократова луночек.
  • У разі ортогональної системи векторів \ {V_k \} \ frac {} {} має місце рівність, також зване теоремою Піфагора:
    \ Sum_ {k = 1} ^ {n} \ | v_k \ | ^ 2 = \ left \ | \ sum_ {k = 1} ^ {n} v_k \ right \ | ^ 2.
    • Якщо \ {V_k \} \ frac {} {} - Це проекції вектора на координатні осі, то ця формула співпадає з відстанню Евкліда і означає, що довжина вектора є корінь квадратний із суми квадратів його компонентів.
    • Аналог цієї рівності у випадку нескінченної системи векторів має назву рівності Парсеваля.

4. Історія

Чу-пей 500-200 років до нашої ери. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти і підстави є квадрат довжини гіпотенузи.

У давньокитайській книзі Чу-пей йдеться про Піфагора трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5. У цій же книзі запропонований малюнок, який збігається з одним з креслень індуської геометрії Басхари.

Моріц Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 + 4 = 5 було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. до н.е.., за часів царя Аменемхета I (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора, гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3 м від одного кінця і 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їхній спосіб побудови стає зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, застосовуваним усіма теслями. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, - наприклад, малюнки, що зображають столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, який відносять до часу Хаммурапі, тобто до 2000 році до н.е.., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника [3]. Звідси можна зробити висновок, що в Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, принаймні в деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетської та вавілонської математики, а з іншого - на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив висновок про велику ймовірність того, що теорема про квадраті гіпотенузи була відома в Індії вже близько XVIII століття до н.е..

Згідно з коментарем Прокла до Евкліду, Піфагор (роками життя якого прийнято вважати 570-490 рр.. до н. е..) використовував алгебраїчні методи, щоб знаходити Піфагорові трійки. Однак Прокл писав між 410 і 485 рр.. н. е.. Томас Літтл Хіт (en: Thomas Little Heath) вважав, що не існує явного згадування, що відноситься до періоду тривалістю 5 століть після смерті Піфагора, що Піфагор був автором теореми. [4] Проте, коли автори, такі як Плутарх і Цицерон, пишуть про теорему Піфагора, вони пишуть так, як ніби авторство Піфагора було широко відомим і безсумнівним. [5] [6] "Чи належить ця формула особисто перу Піфагора ..., але ми можемо впевнено вважати, що вона належить найдавнішого періоду пифагорейской математики ". [7] За переказами, Піфагор відсвяткував відкриття своєї теореми гігантським бенкетом, заколеного на радощах сотню биків [8].

Приблизно в 400 р. до н. е.., згідно Проклу, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру і геометрію. Приблизно в 300 р. до н. е.. в "Засадах" Евкліда з'явилося найстаріше аксіоматичне доказ теореми Піфагора. [9]


5. Примітки

  1. Pythagorean Proposition, by Elisha Scott Loomis
  2. L. Hoehn, A Neglected Pythagorean-Like Formula, Mathematical Gazette, 84 (2000), pp. 71-73
  3. History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics - www-groups.dcs.st-and.ac.uk / ~ history / PrintHT / Babylonian_Pythagoras.html
  4. (Euclid 1956, С. 351) С. 351 - books.google.com /? id = UhgPAAAAIAAJ & pg = PA351
  5. (Heath 1921, Vol I, p. 144)
  6. Обговорення історичних фактів наведено в (Euclid 1956, С. 351) С. 351 - books.google.com /? id = UhgPAAAAIAAJ & pg = PA351
  7. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Second Series 46 (2): 242-264.
  8. Льюїс Керрол, "Історія з вузликами", М., Мир, 1985, с. 7
  9. Asger Aaboe Episodes From The Early History Of Mathematics - books.google.com / books? id = 5wGzF0wPFYgC & pg = PA51 - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131.

Література

7.1. Російською мовою


7.1.2. Англійською


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сферична теорема Піфагора
Дерево Піфагора
Кружка Піфагора
Феано (дружина Піфагора)
Теорема
Пі-теорема
H-теорема
Теорема Машка
Теорема Мінковського
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru