Теорема Рімана про умовно збіжних рядах допомагає при обчисленні суми нескінченного ряду.

Нехай ряд \ Mathbf {A} сходиться умовно, тоді для будь-якого числа S \ In \ mathbf {R} можна так поміняти порядок підсумовування, що сума нового ряду буде рівна S.



Доказ

Складемо ряд з позитивних елементів ряду \ Mathbf {A} і позначимо його \ Mathbf {P} , А елементи ряду \ Mathbf {P} позначимо \ Mathbf {P_i} (i = 1, ..., \ infty) . Відповідно ряд з модулів негативних елементів \ Mathbf {A} позначимо \ Mathbf {Q} Отже ряд \ Mathbf {A} можна представити як: \ Mathbf {A} = \ mathbf {P} - \ mathbf {Q} . Виходячи з властивостей умовно збіжних рядів \ Mathbf {P} і \ Mathbf {Q} - Розходяться, а виходячи з властивостей залишку ряду всі залишки \ Mathbf {P} і \ Mathbf {Q} - Розходяться \ Rightarrow в кожному з цих рядів починаючи з будь-якого місця можна набрати стільки членів, щоб їх сума перевершила будь-яке число. Користуючись цим зробимо перестановку членів ряду \ Mathbf {A} : Спочатку візьмемо стільки позитивних членів ряду (не змінюючи їх порядок), щоб їх сума перевершила S: \ Mathbf {p_1} + \ mathbf {p_2} + ... + \ mathbf {p_k}> S За ними запишемо стільки негативних членів ряду (не змінюючи їх порядок), щоб загальна сума була менша S: \ Mathbf {p_1} + \ mathbf {p_2} + ... + \ mathbf {p_k} - \ mathbf {q_1} - \ mathbf {q_2} - ... - \ mathbf {q_m} < S Цей процес мислення продовжуємо до нескінченності. Таким чином всі члени ряду \ Mathbf {A} зустрінуться в новому ряду. Якщо всякий раз, виписуючи члени \ Mathbf {p} і \ Mathbf {q} , Набирати їх не більше, ніж потрібно для нерівності, то різниця між частковою сумою нового ряду і S по модулю не перевершить останнього написаного члена. Оскільки з властивостей умовно збіжних рядів: \ Lim_ {k \ to \ infty} \ mathbf {p_k} = 0 і \ Lim_ {m \ to \ infty} \ mathbf {q_m} = 0 , То новий ряд сходиться до S.