Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Фалеса



План:


Введення

Thales-sov.jpg
Ця теорема про паралельні прямі. Про вугіллі, спирається на діаметр, см. іншу теорему.

Теорема Фалеса - одна з теорем планіметрії.



У теоремі немає обмежень на взаємне розташування січних (вона вірна як для пересічних прямих, так і для паралельних). Також важливо, де знаходяться відрізки на січних.


Доказ у разі січних
Доказ теореми Фалеса

Розглянемо варіант з непов'язаними парами відрізків: нехай кут перетинають прямі A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 і при цьому A B = C D .

  1. Проведемо через точки A і C прямі, паралельні іншій стороні кута. Одержимо два паралелограма A B 2 B 1 A 1 і C D 2 D 1 C 1 . Відповідно до властивості паралелограма: A B 2 = A 1 B 1 і C D 2 = C 1 D 1 .
  2. Трикутники \ Bigtriangleup ABB_2 і \ Bigtriangleup CDD_2 рівні на підставі другої ознаки рівності трикутників :
    A B = C D згідно з умовою теореми,
    \ Angle ABB_2 = \ angle CDD_2 як відповідні, що утворилися при перетині паралельних B B 1 і D D 1 прямий BD.
    Аналогічно кожен з кутів \ Angle BAB_2 і \ Angle DCD_2 виявляється рівним куту з вершиною в точці перетину січних.
  3. A B 2 = C D 2 як відповідні елементи в рівних трикутниках.
  4. A 1 B 1 = A B 2 = C D 2 = C 1 D 1


Доказ у разі паралельних прямих

Проведемо пряму BC. Кути ABC і BCD рівні як внутрішні навхрест лежачі при паралельних прямих AB і CD і січною BC, а кути ACB і CBD рівні як внутрішні навхрест лежачі при паралельних прямих AC і BD і січною BC. Тоді за першою ознакою рівності трикутників трикутники ABC і DCB рівні. Звідси випливає, що AC = BD і AB = CD.

Також існує узагальнена теорема Фалеса:

Паралельні прямі відсікають на січних пропорційні відрізки :
\ Frac {A_1A_2} {B_1B_2} = \ frac {A_2A_3} {B_2B_3} = \ frac {A_1A_3} {B_1B_3}.

Теорема Фалеса є окремим випадком узагальненої теореми Фалеса, оскільки рівні відрізки можна вважати пропорційними відрізками з коефіцієнтом пропорційності, рівним 1.


1. Зворотній теорема

Якщо в теоремі Фалеса рівні відрізки починаються від вершини (часто в шкільній літературі використовується таке формулювання), то зворотна теорема також виявиться вірною. Для пересічних січних вона формулюється так:

Якщо прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній і на іншій стороні кута рівні (або пропорційні) між собою відрізки, починаючи від вершини, то такі прямі паралельні.

У зворотній теоремі Фалеса важливо, що рівні відрізки починаються від вершини

Таким чином (див. рис.) З того, що \ Frac {CB_1} {CA_1} = \ frac {B_1B_2} {A_1A_2} = \ ldots = {\ rm idem} випливає, що прямі A_1B_1 | | A_2B_2 | | \ ldots .

Якщо січні паралельні, то необхідно вимагати рівність відрізків на обох січних між собою, інакше дане твердження стає невірним (контрприклад - трапеція, що перетинає лінією, що проходить через середини підстав).


2. Варіації і узагальнення

Наступне твердження, двояко до лемі Соллертинський :

Нехай f - проективне відповідність між точками прямої l і прямий m . Тоді безліч прямих X f (X) буде безліччю дотичних до деякого коническому перетину (можливо, виродження).


У разі теореми Фалеса коників буде нескінченно віддалена точка, відповідна напрямку паралельних прямих.

Це твердження, у свою чергу, є граничним випадком наступного твердження:

Нехай f - Проективне перетворення коники. Тоді обвідної безлічі прямих X f (X) буде коника (можливо, вироджена).



3. Теорема Фалеса в культурі

Аргентинська музична група Les Luthiers (ісп.) представила пісню, присвячену теоремі. В відеокліпі для цієї пісні [1] наводиться доказ для прямої теореми для пропорційних відрізків.

4. Цікаві факти

  • Теорема Фалеса до цих пір використовується в морській навігації в якості правила про те, що зіткнення суден, що рухаються з постійною швидкістю, неминуче, якщо зберігається курс судів один на одного.
  • Поза російськомовної літератури теоремою Фалеса іноді називають іншу теорему планіметрії, а саме, твердження про те, що вписаний кут, що спирається на діаметр кола, є прямим. Відкриття цієї теореми дійсно приписується Фалесу, про що є свідоцтво Прокла.

Література

  • Атанасян С. Л. Геометрія 7-9 - Вид. 3-е. - М .: Просвящение, 1992.

Примітки

  1. El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема
H-теорема
Пі-теорема
Теорема Тебо
Теорема Стокса
Теорема Лежандра
Теорема Шура
Теорема Машка
Теорема Мінковського
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru