Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема косинусів


Triangle.png

План:


Введення

Triangle.png

Теорема косинусів - теорема евклідової геометрії, узагальнююча теорему Піфагора :



1. Історія

Твердження, узагальнюючі теорему Піфагора або еквівалентні теоремі косинусів, були сформульовані окремо для випадків гострого і тупого кута в 12 і 13 пропозиціях II книги "Почав" Евкліда.

Твердження, еквівалентні теоремі косинусів для сферичного трикутника, застосовувалися в творах математиків країн Середньої Азії. Теорему косинусів для сферичного трикутника в звичному нам вигляді сформулював Региомонтан, назвавши її "теоремою Альбатегнія" (по імені ал-Баттані).

У Європі теорему косинусів популяризував Франсуа Вієт в XVI столітті. На початку XIX століття її стали записувати у прийнятих до цього дня алгебраїчних позначеннях.

Доказ
Theorem of cosin.svg

Розглянемо трикутник ABC. З вершини C на сторону AB опущена висота CD. З трикутника ADC слід:

A D = b cos α ,
D B = c - b cos α

Запишемо теорему Піфагора для двох прямокутних трикутників ADC і BDC:

h ^ 2 = b ^ 2 - (b \ cos \ alpha) ^ 2 \ qquad \ qquad \ qquad (1)
h ^ 2 = a ^ 2 - (c - b \ cos \ alpha) ^ 2 \ qquad \ qquad (2)

Прирівнюємо праві частини рівнянь (1) і (2) і:

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

або

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α .

Випадок, коли один з кутів при основі тупий (і висота падає на продовження підстави), повністю аналогічний розглянутому.

Вирази для сторін b і c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β
c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos γ .

2. Варіації і узагальнення

2.1. Чотирикутник

Зводячи в квадрат тотожність \ Overline {AD} = \ overline {AB} + \ overline {BC} + \ overline {CD} можна отримати твердження, іноді зване теоремою косинусів для чотирикутників:

d ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-2ab \ cos \ angle B-2ac \ cos \ omega-2bc \ cos \ angle C , Де ω - Кут між прямими AB і CD.

Або інакше:

d ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-2ab \ cos \ angle B +2 ac \ cos (\ angle A + \ angle D)-2bc \ cos \ angle C

2.2. Симплекс

S_i S_j \ cos \ angle A = \ frac {(-1) ^ {(n-1 + i + j)}} {2 ^ {n-1} ((n-1)!) ^ 2} \ begin { vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \ dots & 1 \ \ 1 & 0 & d_ {12} ^ 2 & d_ {13} ^ 2 & \ dots & d_ {1n} ^ 2 \ \ 1 & d_ {21 } ^ 2 & 0 & d_ {23} ^ 2 & \ dots & d_ {2n} ^ 2 \ \ 1 & d_ {31} ^ 2 & d_ {32} ^ 2 & 0 & \ dots & d_ {3n} ^ 2 \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 1 & d_ {n1} ^ 2 & d_ {n2} ^ 2 & d_ {n3} ^ 2 & \ dots & 0 \ \ \ end {vmatrix}

при цьому ми повинні закреслити рядок і стовпець, де знаходиться d i j або d j i .

A - кут між гранями S i і S j , S i -Грань, що знаходиться проти вершини i, d i j - Відстань між вершинами i та j.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теореми косинусів (сферична геометрія)
Теорема
Пі-теорема
H-теорема
Теорема Шура
Теорема Машка
Теорема Мінковського
Теорема Жордана
Теорема Кантора
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru