Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорія груп


Rubik's cube.svg

План:


Введення

Теорія груп - розділ абстрактної алгебри, що вивчає алгебраїчні структури, звані групами, і їх властивості.

Список визначень, які стосуються теорії груп, ви можете знайти в статті Словник термінів теорії груп.


1. Історія

У теорії груп три історичні корені: теорія алгебраїчних рівнянь, теорія чисел і геометрія. Математики, що стоять біля витоків теорії груп, - це Леонард Ейлер, Карл Фрідріх Гаусс, Жозеф Луї Лагранж, Нільс Хенрік Абель і Еваріст Галуа. Галуа був першим математиком, зв'язав теорію груп з іншою гілкою абстрактної алгебри - теорією полів, розробивши теорію, нині звану теорією Галуа.

Однією з перших завдань, що призвели до виникнення теорії груп, було завдання отримання рівняння ступеня m, яке мало б корінням m коренів даного рівняння ступеня n (m Це завдання в простих випадках розглянув Худде ( 1659 р.). В 1740 р. Сондерсон зауважив, що знаходження квадратичних множників біквадратних виразів зводиться до рішення рівняння 6 ступеня, а Ле Сер ( 1748 р.) і Вейрінг (з 1762 по 1782 рр..) розвинули цю ідею.

Загальну основу для теорії рівнянь, що будується на теорії перестановок, в 1770 - 1771 рр.. знайшов Лагранж, і на цьому грунті в подальшому зросла теорія підстановки. Він виявив, що коріння всіх резольвент, з якими він стикався, є раціональними функціями від коренів відповідних рівнянь. Щоб вивчити властивості цих функцій, він розробив "обчислення сполучень" (Calcul des Combinaisons). Сучасна йому робота Вандермонда ( 1770 р.) також передбачала розвиток теорії груп.

Паоло Руффини в 1799 р. запропонував доказ нерозв'язності рівнянь п'ятого і вищих ступенів в радикалах. Для доказу він використовував поняття теорії груп, хоч і називав їх іншими іменами. Руффини також опублікував лист, написаний йому абат, лейтмотивом якого була теорія груп.

Галуа виявив, що якщо у алгебраїчного рівняння кілька коренів, то завжди існує група перестановок цих коренів така, що 1) всяка функція, інваріантна щодо підстановки групи, раціональна і, навпаки, 2) будь-яка раціональна функція від коренів інваріантна щодо перестановок групи. Свої перші праці з теорії груп він опублікував у 1829 р., у віці 18 років, але вони залишилися практично непоміченими, поки в 1846 р. не було видано зібрання його творів.

Артур Келі і Огюстен Луї Коші стали одними з перших математиків, оцінили важливість теорії груп. Ці вчені також довели деякі важливі теореми теорії. [1] Досліджуваний ними предмет був популяризував Серретом, який присвятив теорії секцію зі своєї книги з алгебри, Жорданія, чия праця "Дії над підстановками" (Trait des Substitutions) став класикою, і Євгеном Нетто ( 1882 р.), чий праця була в 1892 р. переведений на англійська мова Коулом. Великий внесок у розвиток теорії груп внесли також багато інших математики XIX століття : Бертран, Ерміта, Фробеніус, Кронекер і Матьє.

Сучасне визначення поняття "група" було дано тільки в 1882 р. Вальтером фон Дюком. [2]

В 1884 р. Софус Лі започаткував вивчення як груп перетворень того, що ми зараз називаємо групами Лі та їх дискретними підгрупами; за його працями пішли роботи Киллинга, штудій, Шура, Маурера і Елі Картана. Теорія дискретних груп була розроблена Клейном, Лі, Пуанкаре і Пікаром у зв'язку з вивченням модулярних форм та інших об'єктів.

В середині XX століття (в основному, між 1955 і 1983 рр..) була проведена величезна робота за класифікацією всіх кінцевих простих груп, що включає десятки тисяч сторінок статей.

Відчутний внесок у теорію груп внесли і багато інших математики, такі як Артін, Еммі Нетер, Людвіг Сілов та інші.


2. Короткий опис теорії

Граф вільної групи порядку 2

Поняття групи виникло в результаті формального опису симетрії та еквівалентності геометричних об'єктів. В Ерлангенском програмі Фелікса Клейна вивчення геометрії було пов'язано з вивченням відповідних груп перетворень. Наприклад, якщо задані фігури на площині, то групою рухів з'ясовується їхня рівність.

Визначення. Групою називається безліч елементів (кінцеве чи нескінченне), на якому задана операція множення [3], яка задовольняє таким чотирьом аксіомам:

  • Замкнутість групи щодо операції множення. Для будь-яких двох елементів групи існує третій, який є їх твором:
1) ~ ~ ~ \ forall A, B \ in G: ~ ~ ~ \ exist C \ in G ~ ~ ~ A \ cdot B = C;
2) ~ ~ ~ \ forall A, B, C \ in G: ~ ~ ~ A \ cdot (B \ cdot C) = (A \ cdot B) \ cdot C = A \ cdot B \ cdot C;
  • Існування одиничного елемента. У групі існує певний елемент E, твір якого з будь-яким елементом A групи дає той же самий елемент A:
3) ~ ~ ~ \ exists E \ in G: ~ ~ ~ \ forall A \ in G \ quad A \ cdot E = E \ cdot A = A;
  • Існування зворотного елементу. Для будь-якого елементу A групи існує такий елемент A -1, що їхній твір дає одиничний елемент E:
4) ~ ~ ~ \ forall A \ in G: ~ ~ ~ \ exists A ^ {-1} \ in G: ~ ~ ~ A \ cdot A ^ {-1} = A ^ {-1} \ cdot A = E.

Аксіоми групи ніяк не регламентують залежність операції множення від порядку співмножників. Тому, загалом кажучи, зміна порядку співмножників впливає на твір. Групи, для яких твір не залежить від порядку співмножників, називають комутативними або абелевих групами. Для абелевих групи

\ Forall A, B \ in G: ~ ~ ~ A \ cdot B = B \ cdot A.

Абелеві групи досить рідко зустрічаються у фізичних додатках. Найчастіше групи, що мають фізичний зміст, є неабелевимі:

\ Exists A, B \ in G: ~ ~ ~ A \ cdot B \ not = B \ cdot A.

Кінцеві групи невеликого розміру зручно описувати за допомогою т. зв. "Таблиці множення". У цій таблиці кожен рядок і кожен стовпець відповідає одному елементу групи, а в комірку на перетині рядка і стовпця поміщається результат операції множення для відповідних елементів.

Нижче наведено приклад таблиці множення ( таблиці Келі) для групи складається з чотирьох елементів: (1, -1, i,-i) у якій операцією є звичайне арифметичне множення:

1 -1 i -I
1 1 -1 i -I
-1 -1 1 -I i
i i -I -1 1
-I -I i 1 -1

Одиничним елементом тут є 1, зворотними елементами для 1 і -1 є вони самі, а елементи i і-i є зворотними один для одного.

Якщо група має нескінченне число елементів, то вона називається нескінченної групою.

Коли елементи групи безперервно залежать від будь-яких параметрів, то група називається безперервної, або групою Лі. Також кажуть, що група Лі - це група, безліч елементів якої утворює гладке різноманіття. За допомогою груп Лі як груп симетрій знаходяться рішення диференціальних рівнянь.

Групи повсюдно використовуються в математиці та природничих науках, часто для виявлення внутрішньої симетрії об'єктів (групи автоморфізмів). Внутрішня симетрія зазвичай пов'язана з інваріантними властивостями; безліч перетворень, які зберігають цю властивість, разом з операцією композиції, утворюють групу, звану групою симетрії.

У теорії Галуа, яка і дала початок поняття групи, групи використовуються для опису симетрії рівнянь, корінням яких є корені деякого поліноміальною рівняння. Через важливу роль, яку вони відіграють у цій теорії, отримали свою назву розв'язні групи.


В алгебраїчної топології групи використовуються для опису інваріантів топологічних просторів [4]. Під інваріантами тут маються на увазі властивості простору, не мінливі при якомусь його деформуванні. Приклади такого використання груп - фундаментальні групи, групи гомологий і когомологий.

Групи Лі застосовуються при вивченні диференціальних рівнянь і різноманіть, вони поєднують в собі теорію груп і математичний аналіз. Область аналізу, пов'язана з цими групами, називається гармонійним аналізом.

В комбінаториці поняття групи підстановки і дії групи використовуються для спрощення підрахунку числа елементів у множині; зокрема, часто використовується лема Бернсайда.

Розуміння теорії груп також дуже важливо для фізики та інших природничих наук. В хімії групи використовуються для класифікації кристалічних граток і симетрій молекул. У фізиці групи використовуються для опису симетрій, яким підкоряються фізичні закони. Особливо важливі в фізиці подання груп, зокрема, груп Лі, так як вони часто вказують шлях до "можливим" фізичним теоріям.

Група (G, \ cdot) називається циклічною, якщо вона породжена одним елементом a, тобто всі її елементи є ступенями a (або, якщо використовувати адитивну термінологію, представимо у вигляді na, де n - ціле число). Математичне позначення: G = \ langle a \ rangle .

Кажуть, що група G діє на множині M , Якщо задано гомоморфізм \ Phi: G \ to S (M) з групи G до групи S (M) всіх перестановок безлічі M . Для стислості (g)) (m) часто записують як g m або g. m .


3. Приклади груп

  • Найпростішою групою є група зі звичайною арифметичною операцією множення, яка складається з елемента 1. Елемент 1 є одиничним елементом групи і зворотним самому собі:
1
1 1
  • Наступний простий приклад - група зі звичайною арифметичною операцією множення, яка складається з елементів (1, -1). Елемент 1 є одиничним елементом групи, обидва елементи групи назад самим собі:
1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
  • Групою щодо звичайної арифметичної операції множення є безліч, що складається з чотирьох елементів (1, -1, i,-i). Одиничним елементом тут є 1, зворотними елементами для 1 і -1 є вони самі, а елементи i і-i є зворотними один для одного.
1 -1 i -I
1 1 -1 i -I
-1 -1 1 -I i
i i -I -1 1
-I -I i 1 -1
  • Групою є два повороти простору на 0 і 180 навколо однієї осі, якщо твором двох поворотів вважати їх послідовне виконання. Ця група зазвичай позначається C 2. Вона ізоморфна (тобто тотожна) наведеної вище групі з елементами 1 і -1. Поворот на кут 0 , оскільки він є тотожним, позначений в таблиці літерою E.
C 2 E R 180
E E R 180
R 180 R 180 E
  • Групу разом з тотожним перетворенням E утворює операція інверсії I, яка змінює напрямок кожного вектора на протилежне. Груповий операцією є послідовне виконання двох інверсій. Ця група зазвичай позначається S 2. Вона ізоморфна наведеної вище групі C 2.
S 2 E I
E E I
I I E


  • За аналогією з групою C 2 можна побудувати групу C 3, що складається з поворотів площині на кути 0 , 120 і 240 . Можна сказати, що група C 3 є групою поворотів, що переводять правильний трикутник сам в себе.
Елементи групи C 3
C 3 E R 120 R 240
E E R 120 R 240
R 120 R 120 R 240 E
R 240 R 240 E R 120
  • Якщо до групи C 3 додати відображення трикутника щодо трьох його осей симетрії (R 1, R 2, R 3), то ми отримаємо повну групу операцій, яка переводить трикутник сам в себе. Ця група називається D 3.
Елементи групи D 3
D 3 E R 120 R 240 R 1 R 2 R 3
E E R 120 R 240 R 1 R 2 R 3
R 120 R 120 R 240 E R 2 R 3 R 1
R 240 R 240 E R 120 R 3 R 1 R 2
R 1 R 1 R 3 R 2 E R 240 R 120
R 2 R 2 R 1 R 3 R 120 E R 240
R 3 R 3 R 2 R 1 R 240 R 120 E


  • Сукупність усіх обертань щодо однієї осі утворюють безперервну групу, звану R 2. Її елементи позначимо символами R (a), де a - кут повороту, що знаходиться в межах 0 ≤ a <360 . Для цієї групи таблиця множення нескінченна, тому група описується загальною формулою
~ R (a) \ cdot R (b) = R (a + b ~ | ~ \ bmod ~ 360 ^ \ circ).

Оскільки результат двох послідовних поворотів навколо однієї осі не залежить від порядку поворотів, група R 2 є комутативної. Зворотний елемент у групі определеяется формулою

~ R ^ {-1} (a) = R (360 ^ \ circ - a).


  • Група R 3 являє собою групу всіляких обертань тривимірного простору щодо осей, що проходять через одну точку. Ця група є групою симетрії сфери. Кожен елемент групи R (α, β, a) задається трьома параметрами: α і β - Ейлерови кути, які визначають положення осі, a - кут повороту.


  • Група S n або симетрична група порядку n - це сукупність n! всіляких перестановок n елементів. Перестановку зручно позначати символом
~ P = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ dots & n \ \ p_1 & p_2 & p_3 & \ dots & p_n \ end {pmatrix},

вказує, що елемент n при перестановці замінюється на елемент p n. Зворотним елементом для елемента P буде елемент

~ P ^ {-1} = \ begin {pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \ dots & p_n \ \ 1 & 2 & 3 & \ dots & n \ end {pmatrix}.

Цікаво, що група S 3 ізоморфна групі D 3, так як остання містить всесозможние перетворення, що переводять трикутник сам у себе, а перетворення трикутника можна задати різними перестановками трьох його вершин:

~ E = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 1 & 2 & 3 \ end {pmatrix}; ~ ~ R_ {120} = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 3 & 1 & 2 \ end {pmatrix}; ~ R_ {240} = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 2 & 3 & 1 \ end {pmatrix};
~ R_1 = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 1 & 3 & 2 \ end {pmatrix}; ~ R_2 = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 3 & 2 & 1 \ end {pmatrix };~~~ R_3 = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ \ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}.

4. Абелеві групи

Абелева група є група, в якій групова операція є комутативної; тобто група G абелева якщо a b = b a для будь-яких двох елементів a, \; b \ in G .

Групова операція в абелевих групах зазвичай називається "складанням" і позначається знаком + . Абелеві групи є основою для побудови більш складних об'єктів абстрактної алгебри, таких як кільця, поля і модулі. Назва дана на честь норвезького математика Абеля за його внесок у дослідження груп підстановок.


4.1. Приклади

  • Група паралельних переносів в лінійному просторі.
  • Будь циклічна група G = \ langle a \ rangle . Дійсно, для будь-яких x = a n і y = a m вірно, що
    x y = a m a n = a m + n = a n a m = y x .
  • Будь-яке кільце є комутативної (абелевих) групою за своїм складанню. У тому числі і речові числа з операцією додавання.
  • Оборотні елементи комутативної кільця, зокрема, ненульові елементи будь-якого поля, утворюють абелева групу з множенню. Наприклад, речові числа, не рівні нулю, з операцією множення.

4.2. Пов'язані визначення

  • За аналогією з розмірністю у векторних просторів, кожна абелева група має ранг. Він визначається як мінімальна розмірність простору над полем раціональних чисел, в який вкладається фактор групи з її крученню.

4.3. Властивості

  • Конечнопорожденние абелеві групи ізоморфні прямим сумами циклічних груп.
    • Кінцеві абелеві групи ізоморфні прямим сумами кінцевих циклічних груп.
  • Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n - натуральное число, а x - элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой +, тогда n x можно определить как x+x+\ldots+x ( n раз) и ( − n) x = − ( n x) .
  • Безліч гомоморфизмов \operatorname{Hom}(G,\;H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само является абелевой группой. Действительно, пусть f,\;g:G\to H - два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g , заданная как ( f + g)( x) = f ( x) + g ( x) , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H некоммутативная группа).

4.4. Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простих чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. \Z_{mn} изоморфно прямой сумме \Z_m і \Z_n тоді і тільки тоді, коли m і n взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямой суммы

\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}

двумя различными способами:

  • Где числа k_1,\;\ldots,\;k_u степени простых
  • Де k 1 делит k 2 , которое делит k 3 , и так далее до k u .

Наприклад, \Z/15\Z=\Z_{15} может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: \Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\} . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.


4.5. Варіації і узагальнення

  • Дифференциальной группой называется абелева группа \mathbf{C}, в которой задан такой эндоморфизм d\colon\mathbf{C}\to\mathbf{C} , Що d 2 = 0 . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра \ker\,d - циклами, элементы образа \mathrm{Im}\,d - границами.

4.6. Гиперболические группы

Конечно-порождённая группа называется гиперболической, если она является гиперболической как метрическое пространство.

Более подробно, на конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика - словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется - понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

  • Оскільки гіперболічністю це, в певному сенсі, "подібність" властивостей метричного простору з деревом - вільна група ( граф Келі якої є деревом) з будь-яким кінцевим числом утворюють гіперболічно.
  • Група PSL (2, Z) гіперболічно.
  • Кінцева група гіперболічно.
  • Гіперболічністю зберігається при переході до підгрупи кінцевого індексу.
  • Будь гіперболічна група є кінцево-представленої: задається кінцевим числом утворюють і кінцевим числом співвідношень. (Як наслідок, гіперболічних груп - на відміну від усіх груп взагалі - лише рахункове число.)
  • Гіперболічністю тягне за собою (а, насправді, рівносильна) лінійному изопериметрической нерівності: тривіальне слово, записане як добуток N утворюють, представляється як добуток CN сполучених до базисних співвідношенням (з певним контролем на довжину сполучають творів).

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'aprs Mikhael Gromov)

  • Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75-263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

5. Теорія уявлень

6. Деякі теореми


7. Невирішені проблеми теорії груп

Всесвітньо відомим збіркою декількох тисяч невирішених проблем теорії груп є Коуровская зошит.

Примітки

  1. Наприклад, теорему Келі і теорему Коші
  2. Баруту А., Рончка Р. Теорія уявлень груп і її застосування, т.1, 2, М., 1980.
  3. Операція зазвичай називається "множення", рідше використовується назва "складання"
  4. звідси, наприклад, пішла назва " підгрупа кручення "

Література

  • Ляховський В. Д., Болохов А. А. Групи симетрії та елементарні частинки, Изд-во ЛДУ, 1983.
  • Баруту А., Рончка Р. Теорія уявлень груп і її застосування, т.1, 2, М., 1980.
  • Желобенко Д. П. Компактні групи Лі та їх подання, М., 1970.
  • Желобенко Д. П., Штерн А. І. Подання груп Лі, М., 1980.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Характер (теорія груп)
Теорема Келі (теорія груп)
Теорема Коші (теорія груп)
Граф Келі (теорія груп)
Теорема Лагранжа (теорія груп)
Міракс Груп
Глосарій теорії груп
Список груп сімфонік-метала
Список хіп-хоп-груп
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru