Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорія категорій



План:


Введення

Теорія категорій - розділ математики, що вивчає властивості відносин між математичними об'єктами, які не залежать від внутрішньої структури об'єктів.

Теорія категорій займає центральне місце в сучасній математиці [1], вона також знайшла застосування в інформатики [2], логіці [3] і в теоретичної фізики [4] [5] [ уточнити ]. Сучасне виклад алгебраїчної геометрії і гомологічної алгебри немислимо без застосування теорії категорій. Общекатегорние поняття також активно використовуються в мові функціонального програмування Haskell [6].


1. Визначення

Категорія \ Mathcal {C} - Це:

  • клас об'єктів Ob_ {\ mathcal {C}} ;
  • для кожної пари об'єктів A, B задано безліч морфізм (або стрілок) \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B) , Причому кожному морфізм відповідає єдині A і B;
  • для пари морфізм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) і g \ in \ mathrm {Hom} (B, C) визначена композиція g \ circ f \ in \ mathrm {Hom} (A, C) ;
  • для кожного об'єкта A заданий тотожний морфізм id_A \ in \ mathrm {Hom} (A, A) ;

причому виконуються дві аксіоми :

  • операція композиції асоціативна : h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f і
  • тотожний морфізм діє тривіально: f \ circ id_A = id_B \ circ f = f для f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)
Зауваження: клас об'єктів зазвичай не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають безліч, називається малою. Крім того, в принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розгляд категорій, в яких морфізм між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть більшу структуру [7].

1.1. Приклади категорій

Аналогічно визначаються категорії для інших алгебраїчних систем.


1.2. Комутативні діаграми

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Коммутативна діаграма - це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізм або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від обраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

Діаграма аксіом категорій

1.3. Двоїстість

Для категорії \ Mathcal {C} можна визначити подвійну категорію \ Mathcal {C} ^ {op} , В якій:

  • об'єкти збігаються з об'єктами вихідної категорії;
  • морфізм виходять "зверненням стрілок": \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C} ^ {op}} (B, A) \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)

Взагалі, для будь-якого затвердження теорії категорій можна сформулювати двоїсте твердження за допомогою звернення стрілок. Часто двоїсте явище позначається тим же терміном з приставкою ко-(див. приклади далі).


2. Основні визначення і властивості

2.1. Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм

Морфізм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм g \ in \ mathrm {Hom} (B, A) , Що g \ circ f = id_A і f \ circ g = id_B . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізм, в яких початок і кінець співпадають, називають ендоморфізмамі. Безліч ендоморфізмов End (A) = Hom (A, A) є моноідом щодо операції композиції з одиничним елементом i d A .

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізм, називаються автоморфізмом. Автоморфізм будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів Aut (A) по композиції.


2.2. Мономорфизм, епіморфізм, біморфізм

Мономорфизм - це морфізм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) такий, що для будь-яких g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (X, A) з f \ circ g_1 = f \ circ g_2 випливає, що g 1 = g 2 . Композиція мономорфизм є мономорфизм.

Епіморфізм - це такий морфізм, що для будь-яких g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (B, X) з g_1 \ circ f = g_2 \ circ f слід g 1 = g 2 .

Біморфізм - це морфізм, що є одночасно мономорфизм і епіморфізмом. Будь ізоморфізм є біморфізм, але не будь біморфізм є ізоморфізм.

Мономорфизм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'ектівного, сюр'ектівного і биективное відображення відповідно. Будь ізоморфізм є мономорфизм і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.


2.3. Ініціальний і термінальний об'єкти

Ініціальний (початковий, універсально відштовхуючий) об'єкт категорії - це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо ініціальні об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний або універсально притягає об'єкт - це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкту.

Приклад: У категорії Set ініціальний об'єктом є пусте безліч \ Empty , Термінальним - безліч з одного елемента \ {\ Cdot \} .
Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються - це група з одного елемента.

2.4. Твір і сума об'єктів

Пряме твір

Твір об'єктів A і B - це об'єкт A \ times B з морфізм p_1: A \ times B \ to A і p_2: A \ times B \ to B такими, що для будь-якого об'єкта C з морфізм f_1: C \ to A і f_2: C \ to B існує єдиний морфізм g: C \ to A \ times B такий, що діаграма справа коммутативна. Морфізм p_1: A \ times B \ to A і p_2: A \ times B \ to B називаються проекціями.

Дуально визначається пряма сума або копроізведеніе A + B об'єктів A і B . Відповідні морфізм \ Imath_A: A \ to A + B і \ Imath_B: B \ to A + B називаються вкладеннями. Незважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфизм.

Якщо твір і копроізведеніе існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Приклад: У категорії Set пряме твір A і B - це твір у сенсі теорії множин A \ times B , А пряма сума - діз'юнктное об'єднання A \ sqcup B .
Приклад: У категорії Ring пряма сума - це тензорне твір A \ otimes B , А пряме твір - сума кілець A \ oplus B .
Приклад: У категорії Vect K пряме твір і пряма сума ізоморфні - це сума векторних просторів A \ oplus B .

3. Функтори

Функтори - це відображення категорій, зберігають структуру. Точніше,

(Коваріантний) функтор \ Mathcal {F}: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D} ставить у відповідність кожному об'єкту категорії \ Mathcal {C} об'єкт категорії \ Mathcal {D} і кожному морфізм f: A \ to B морфізм F (f): F (A) \ to F (B) так, що

  • F (i d A) = i d F (A) і
  • F (g) \ circ F (f) = F (g \ circ f) .

Контраваріантний функтор, або кофунктор - це функтор з \ Mathcal {C} в \ Mathcal {D} ^ {op} , Тобто "функтор, який перевертає стрілки".


4. Деякі типи категорій

  • Моноідальние категорії
  • Абелеві категорії
  • Топоси

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Межа (теорія категорій)
Твір (теорія категорій)
Группоід (теорія категорій)
М-теорія
Теорія
Теорія
Теорія 4P
Теорія всього
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru