Теорія категорій

План:

1 Визначення
2 Основні визначення і властивості
3 Функтори
4 Деякі типи категорій

Введення

Теорія категорій - розділ математики, що вивчає властивості відносин між математичними об'єктами, які не залежать від внутрішньої структури об'єктів.

Теорія категорій займає центральне місце в сучасній математиці ^[1], вона також знайшла застосування в інформатики ^[2], логіці ^[3] і в теоретичної фізики ^[4] ^[5] ^{[ уточнити ].} Сучасне виклад алгебраїчної геометрії і гомологічної алгебри немислимо без застосування теорії категорій. Общекатегорние поняття також активно використовуються в мові функціонального програмування Haskell ^[6].

1. Визначення

Категорія $\ Mathcal {C}$ - Це:

клас об'єктів $Ob_ {\ mathcal {C}}$ ;
для кожної пари об'єктів A, B задано безліч морфізм (або стрілок) $\ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)$ , Причому кожному морфізм відповідає єдині A і B;
для пари морфізм $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ і $g \ in \ mathrm {Hom} (B, C)$ визначена композиція $g \ circ f \ in \ mathrm {Hom} (A, C)$ ;
для кожного об'єкта A заданий тотожний морфізм $id_A \ in \ mathrm {Hom} (A, A)$ ;

причому виконуються дві аксіоми :

операція композиції асоціативна : $h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f$ і
тотожний морфізм діє тривіально: $f \ circ id_A = id_B \ circ f = f$ для $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$

Зауваження: клас об'єктів зазвичай не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають безліч, називається малою. Крім того, в принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розгляд категорій, в яких морфізм між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть більшу структуру ^[7].

1.1. Приклади категорій

Set - категорія множин. Об'єктами в цій категорії є безлічі, морфізм - відображення множин.
Group - категорія груп. Об'єктами є групи, морфізм - відображення, що зберігають групову структуру.
Vect _K - категорія векторних просторів над полем K. Морфізм - лінійні відображення.
Категорія модулів.

Аналогічно визначаються категорії для інших алгебраїчних систем.

Top - категорія топологічних просторів. Морфізм - безперервні відображення.
Для будь-якого частково упорядкованої множини можна побудувати малу категорію, об'єктами якої є елементи безлічі, причому між елементами x і y існує єдиний морфізм тоді і тільки тоді, коли x ≤ y (зрозуміло, слід відрізняти цю категорію від категорії частково впорядкованих множин!).

1.2. Комутативні діаграми

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Коммутативна діаграма - це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізм або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від обраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

1.3. Двоїстість

Для категорії $\ Mathcal {C}$ можна визначити подвійну категорію $\ Mathcal {C} ^ {op}$ , В якій:

об'єкти збігаються з об'єктами вихідної категорії;
морфізм виходять "зверненням стрілок": $\ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C} ^ {op}} (B, A) \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)$

Взагалі, для будь-якого затвердження теорії категорій можна сформулювати двоїсте твердження за допомогою звернення стрілок. Часто двоїсте явище позначається тим же терміном з приставкою ко-(див. приклади далі).

2. Основні визначення і властивості

2.1. Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм

Морфізм $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм $g \ in \ mathrm {Hom} (B, A)$ , Що $g \ circ f = id_A$ і $f \ circ g = id_B$ . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізм, в яких початок і кінець співпадають, називають ендоморфізмамі. Безліч ендоморфізмов End (A) = Hom (A, A) є моноідом щодо операції композиції з одиничним елементом i d _A .

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізм, називаються автоморфізмом. Автоморфізм будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів Aut (A) по композиції.

2.2. Мономорфизм, епіморфізм, біморфізм

Мономорфизм - це морфізм $f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)$ такий, що для будь-яких $g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (X, A)$ з $f \ circ g_1 = f \ circ g_2$ випливає, що g ₁ = g ₂ . Композиція мономорфизм є мономорфизм.

Епіморфізм - це такий морфізм, що для будь-яких $g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (B, X)$ з $g_1 \ circ f = g_2 \ circ f$ слід g ₁ = g ₂ .

Біморфізм - це морфізм, що є одночасно мономорфизм і епіморфізмом. Будь ізоморфізм є біморфізм, але не будь біморфізм є ізоморфізм.

Мономорфизм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'ектівного, сюр'ектівного і биективное відображення відповідно. Будь ізоморфізм є мономорфизм і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

2.3. Ініціальний і термінальний об'єкти

Ініціальний (початковий, універсально відштовхуючий) об'єкт категорії - це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо ініціальні об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний або універсально притягає об'єкт - це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкту.

Приклад: У категорії Set ініціальний об'єктом є пусте безліч $\ Empty$ , Термінальним - безліч з одного елемента $\ {\ Cdot \}$ .

Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються - це група з одного елемента.

2.4. Твір і сума об'єктів

Твір об'єктів A і B - це об'єкт $A \ times B$ з морфізм $p_1: A \ times B \ to A$ і $p_2: A \ times B \ to B$ такими, що для будь-якого об'єкта C з морфізм $f_1: C \ to A$ і $f_2: C \ to B$ існує єдиний морфізм $g: C \ to A \ times B$ такий, що діаграма справа коммутативна. Морфізм $p_1: A \ times B \ to A$ і $p_2: A \ times B \ to B$ називаються проекціями.

Дуально визначається пряма сума або копроізведеніе A + B об'єктів A і B . Відповідні морфізм $\ Imath_A: A \ to A + B$ і $\ Imath_B: B \ to A + B$ називаються вкладеннями. Незважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфизм.

Якщо твір і копроізведеніе існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Приклад: У категорії Set пряме твір A і B - це твір у сенсі теорії множин $A \ times B$ , А пряма сума - діз'юнктное об'єднання $A \ sqcup B$ .

Приклад: У категорії Ring пряма сума - це тензорне твір $A \ otimes B$ , А пряме твір - сума кілець $A \ oplus B$ .

Приклад: У категорії Vect _K пряме твір і пряма сума ізоморфні - це сума векторних просторів $A \ oplus B$ .

3. Функтори

Функтори - це відображення категорій, зберігають структуру. Точніше,

(Коваріантний) функтор $\ Mathcal {F}: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}$ ставить у відповідність кожному об'єкту категорії $\ Mathcal {C}$ об'єкт категорії $\ Mathcal {D}$ і кожному морфізм $f: A \ to B$ морфізм $F (f): F (A) \ to F (B)$ так, що

F (i d _A) = i d _{F (A)} і
$F (g) \ circ F (f) = F (g \ circ f)$ .

Контраваріантний функтор, або кофунктор - це функтор з $\ Mathcal {C}$ в $\ Mathcal {D} ^ {op}$ , Тобто "функтор, який перевертає стрілки".

4. Деякі типи категорій

Моноідальние категорії
Абелеві категорії
Топоси