Знаймо![]() приховати рекламу
| Цей текст може містити помилки. Теорія категорійПлан:
ВведенняТеорія категорій - розділ математики, що вивчає властивості відносин між математичними об'єктами, які не залежать від внутрішньої структури об'єктів. Теорія категорій займає центральне місце в сучасній математиці [1], вона також знайшла застосування в інформатики [2], логіці [3] і в теоретичної фізики [4] [5] [ уточнити ]. Сучасне виклад алгебраїчної геометрії і гомологічної алгебри немислимо без застосування теорії категорій. Общекатегорние поняття також активно використовуються в мові функціонального програмування Haskell [6]. 1. Визначення Категорія
причому виконуються дві аксіоми :
1.1. Приклади категорій
Аналогічно визначаються категорії для інших алгебраїчних систем.
1.2. Комутативні діаграмиСтандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Коммутативна діаграма - це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізм або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від обраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм: 1.3. Двоїстість Для категорії
Взагалі, для будь-якого затвердження теорії категорій можна сформулювати двоїсте твердження за допомогою звернення стрілок. Часто двоїсте явище позначається тим же терміном з приставкою ко-(див. приклади далі). 2. Основні визначення і властивості2.1. Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм Морфізм Морфізм, в яких початок і кінець співпадають, називають ендоморфізмамі. Безліч ендоморфізмов End (A) = Hom (A, A) є моноідом щодо операції композиції з одиничним елементом i d A . Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізм, називаються автоморфізмом. Автоморфізм будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів Aut (A) по композиції. 2.2. Мономорфизм, епіморфізм, біморфізм Мономорфизм - це морфізм Епіморфізм - це такий морфізм, що для будь-яких Біморфізм - це морфізм, що є одночасно мономорфизм і епіморфізмом. Будь ізоморфізм є біморфізм, але не будь біморфізм є ізоморфізм. Мономорфизм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'ектівного, сюр'ектівного і биективное відображення відповідно. Будь ізоморфізм є мономорфизм і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій. 2.3. Ініціальний і термінальний об'єктиІніціальний (початковий, універсально відштовхуючий) об'єкт категорії - це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт. Якщо ініціальні об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні. Двоїстим чином визначається термінальний або універсально притягає об'єкт - це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкту.
2.4. Твір і сума об'єктівТвір об'єктів A і B - це об'єкт Дуально визначається пряма сума або копроізведеніе A + B об'єктів A і B . Відповідні морфізм Якщо твір і копроізведеніе існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.
3. ФункториФунктори - це відображення категорій, зберігають структуру. Точніше, (Коваріантний) функтор
Контраваріантний функтор, або кофунктор - це функтор з 4. Деякі типи категорій
Цей текст може містити помилки. Схожі роботи | скачати Схожі роботи: Межа (теорія категорій) Твір (теорія категорій) Группоід (теорія категорій) М-теорія Теорія Теорія Теорія 4P Теорія всього |