Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорія множин



План:


Введення

Теорія множин - розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин. Теорія множин лежить в основі більшості математичних дисциплін; вона зробила глибокий вплив на розуміння предмета самої математики.


1. Історія

1.1. Наївна теорія множин

Перший нарис теорії множин належить Бернарду Больцано ("Парадокси нескінченного", 1850). У цій роботі розглядаються довільні (числові) безлічі, і для їх порівняння визначено поняття взаємно-однозначної відповідності.

У 1870 році німецький математик Георг Кантор розробив свою програму стандартизації математики, в рамках якої будь-математичний об'єкт повинен був виявлятися тим чи іншим "безліччю". Цей підхід викладено у двох його статтях, опублікованих у 1879-1897 роках у відомому німецькому журналі "Математичні аннали" ( ньому. "Mathematische Annalen" ). [1] Наприклад, натуральне число, по Кантору, слід розглядати як безліч, що складається з єдиного елемента іншої множини, званого "натуральним рядом" - який, у свою чергу, сам є безліч, що задовольняє так званим аксіомам Пеано. При цьому загальному поняттю "безлічі", розглядається ним як центрального для математики, Кантор давав мало що визначають визначення на кшталт "безліч є багато чого, мислиме як єдине", і т. д. Це цілком відповідало умонастрою самого Кантора, підкреслено називав свою програму не "теорією множин" (цей термін з'явився багато пізніше), а вченням про множини (Mengenlehre) [джерело не вказано 707 днів].

Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому великих математиків. Особливо виділявся своїм непримиренним до неї ставленням Леопольд Кронекер, вважав, що математичними об'єктами можуть вважатися лише натуральні числа і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що "бог створив натуральні числа, а все інше - справа рук людських"). Повністю відкинули теорію множин і такі авторитетні математики, як Герман Шварц і Анрі Пуанкаре. Тим не менш, інші великі математики - зокрема, Готлоб Фреге, Ріхард Дедекинда і Давид Гільберт - підтримали Кантора в його намірі перекласти всю математику на теоретико-множинний мову. Зокрема, теорія множин стала фундаментом теорії міри та інтеграла, топології і функціонального аналізу.

Однак незабаром з'ясувалося, що установка Кантора на необмежену сваволю при оперуванні з нескінченними множинами (виражений ним самим у принципі "сутність математики полягає в її свободі") є спочатку порочної (див. Криза математичних основ). А саме, був виявлений ряд теоретико-множинних антиномій : виявилося, що при використанні теоретико-множинних уявлень деякі твердження можуть бути доведені разом зі своїми запереченнями (а тоді, згідно з правилами класичної логіки висловлювань, може бути "доведено" абсолютно будь-яке твердження).

Після виявлення антиномії Рассела частина математиків (наприклад, Л. Е. Я. Брауер і його школа) вирішила повністю відмовитися від використання теоретико-множинних уявлень. Інша ж частина математиків, очолена Д. Гільбертом, зробила ряд спроб строго обгрунтувати ту частину теоретико-множинних уявлень, яка здавалася їм найбільш відповідальною за виникнення антиномій, на основі завідомо надійної фінітних математики. Логічний апарат удосконалив Бертран Рассел в роботах, пізніше зібраних у його монографії "Начала математики" (1910-1913). У 1904-1908 рр.. Ернст Цермело запропонував першу версію аксіоматичної теорії множин.


1.2. Аксіоматична теорія множин

Особливістю аксіоматичного підходу є відмова від лежить в основі програми Кантора уявлення про дійсний існування множин в деякому ідеальному світі. У рамках аксіоматичних теорій множини "існують" виключно формальним чином, і їх "властивості" можуть істотно залежати від вибору аксіоматики. Цей факт завжди був мішенню для критики з боку тих математиків, які не погоджувалися (як на тому наполягав Гільберт) визнати математику позбавленої всякого змісту грою в символи. Зокрема, Н. Н. Лузін писав, що "потужність континууму, якщо тільки мислити його як безліч точок, є єдина якась реальність", місце якої в ряду кардинальних чисел не може залежати від того, чи визнається в якості аксіоми континуум-гіпотеза, або ж її заперечення.

В даний час найбільш поширеною аксіоматичної теорією множин є ZFC - теорія Цермело - Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечності цієї теорії (а тим більше - про існування моделі для неї) залишається невирішеним.

Не всіма математиками аксіома вибору приймається беззастережно. Так, наприклад Еміль Борель та Анрі Лебег вважають, що докази, отримані за допомогою цієї аксіоми, мають іншу пізнавальну цінність, ніж докази, незалежні від неї. Інші ж математики, такі як Фелікс Хаусдорф і Адольф Френкель, приймають аксіому вибору беззастережно, визнаючи за нею ту ж ступінь очевидності, що й за іншими аксіомами Цермело - Френкеля. [2]


2. Основні поняття

В основі теорії множин лежать первинні поняття: безліч і ставлення бути елементом безлічі (позначається як x \ in A [3] - "x є елемент безлічі A"). Серед похідних понять найбільш важливі наступні:

Над множинами визначені наступні операції :

Для множин визначені наступні бінарні відносини :


3. Розширення

Теорія комплектів - природне розширення (узагальнення) теорії множин. Подібно безлічі, комплект - набір елементів з деякою області. Відмінність від безлічі: комплекти допускають присутність декількох екземплярів одного і того ж елемента (елемент входить від нуль разів, тобто, не входить в комплект, до якого заданого числа раз) [4]. (Див. наприклад, Мультісочетанія).

4. Програми


Примітки

  1. Georg Cantor, Ueber unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. - Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884).
    Georg Cantor, Beitrge zur Begrndung der transfiniten Mengenlehre. - Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895), 49 (1895). (Є російський переклад: Кантор Г. Праці з теорії множин. М.: Наука, 1985.)
  2. К. Куратовський, А. Мостовський Теорія множин / Переклад з англійської М. І. Коротко під редакцією А. Д. Тайманова - М .: Світ, 1970. - С. 61. .
  3. Символ \ In (Від греч. εστι - "Бути") введено італійським математиком Джузеппе Пеано.
  4. Джеймс Пітерсон Теорія мереж Петрі та моделювання систем: Пер. з англ.-М.: Світ, 1984.-264с., іл. (Стор. 231 "Огляд теорії комплектів")

Література

Портал "Наука"
Портал "Математика" | Категорія "Математика"

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорія нечітких множин
Континуум (теорія множин)
Кільце (теорія множин)
Решітка (теорія множин)
Решітка (теорія множин)
Теорія нечітких множин (Заде)
Принцип подвійності (теорія множин)
Різниця множин
Об'єднання множин
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru