Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорія хаосу



План:


Введення

Діаграма роздвоєння логістичної карти, де x → rx (1 - x). Кожен вертикальний сектор показує аттрактор певного значення r. Діаграма відображає подвоєння періоду коли r збільшується, що в кінцевому підсумку виробляє хаос

Теорія хаосу - математичний апарат, що описує поведінку деяких нелінійних динамічних систем, схильних при певних умовах явищу, відомому як хаос. Поведінка такої системи здається випадковим, навіть якщо модель, що описує систему, є детермінованою.

Прикладами подібних систем є атмосфера, турбулентні потоки, біологічні популяції, суспільство як система комунікацій та його підсистеми: економічні, політичні та інші соціальні системи. Їх вивчення, поряд з аналітичним дослідженням наявних рекурентних співвідношень, зазвичай супроводжується математичним моделюванням.

Теорія хаосу - область досліджень, що зв'язує математику, фізику і філософію.


1. Основні відомості

Теорія хаосу говорить, що складні системи надзвичайно залежні від початкових умов і невеликі зміни в навколишньому середовищі ведуть до непередбачуваних наслідків.

Математичні системи з хаотичним поведінкою є детермінованими, тобто підпорядковуються деякому суворому закону і, в якомусь сенсі, є впорядкованими. Таке використання слова "хаос" відрізняється від його звичайного значення (див. хаос в міфології). Існує також така галузь фізики, як теорія квантового хаосу, що вивчає недетерміновані системи, що підкоряються законам квантової механіки.

Піонерами теорії вважаються французький фізик і філософ Анрі Пуанкаре (довів теорему про повернення), радянські математики А. Н. Колмогоров і В. І. Арнольд і німецький математик Ю. К. Мозер, які побудували теорію хаосу, звану КАМ ( теорія Колмогорова - Арнольда - Мозера). Теорія вводить поняття аттракторов (у тому числі, дивних атракторів як притягують Канторової структур), стійких орбіт системи (т. зв. КАМ-торів).


2. Поняття хаосу

Приклад чутливості системи до первинних умов, де x → 4 x (1 - x) і y → x + y, якщо xy <1 (інакше x + y - 1). Тут чітко видно, що ряди значень x і y через якийсь час помітно відхиляються один від одного хоча в початкових станах відмінності мікроскопічні

У побутовому контексті слово " хаос "означає" бути у стані безладу ". У теорії хаосу прикметник хаотичний визначено більш точно. Хоча загальноприйнятого універсального математичного визначення хаосу немає, зазвичай використовується визначення каже, що динамічна система, яка класифікується як хаотична, повинна мати такі властивості:

  1. вона повинна бути чутлива до початкових умов
  2. вона повинна мати властивість топологічного змішування
  3. її періодичні орбіти повинні бути всюди щільними.

Більш точні математичні умови виникнення хаосу виглядають так:

  1. Система повинна мати нелінійні характеристики, бути глобально стійкою, але мати хоча б одну нестійку точку рівноваги коливального типу, при цьому розмірність системи повинна бути не менше 1,5 (тобто порядок диференціального рівняння не менше 3-го).

Лінійні системи ніколи не бувають хаотичними. Для того, щоб динамічна система була хаотичною, вона повинна бути нелінійною. За теоремі Пуанкаре-Бендіксона ( Poincar-Bendixson), безперервна динамічна система на площині не може бути хаотичною. Серед безперервних систем хаотична поведінка мають тільки неплоских просторові системи (обов'язкова наявність не менше трьох вимірювань або неевклідова геометрія). Однак дискретна динамічна система на якійсь стадії може проявити хаотична поведінка навіть в одновимірному або двовимірному просторі.


2.1. Чутливість до початкових умов

Чутливість до початкових умов в такій системі означає, що всі точки, спочатку близько наближені між собою, в майбутньому мають значно відрізняються траєкторії. Таким чином, довільно невелика зміна поточної траєкторії може призвести до значної зміни у її майбутньому поведінці. Доведено, що останні дві властивості фактично мають на увазі чутливість до первинних умов (альтернативне, більш слабке визначення хаосу використовує тільки перші дві властивості з вищезазначеного списку).

Чутливість до початкових умов більш відома як " Ефект метелика ". Термін виник у зв'язку зі статтею" Пророцтво: Помах крил метелика в Бразилії викличе торнадо в штаті Техас ", яку Едвард Лоренц в 1972 році вручив американської "Асоціації для просування науки" в Вашингтоні. Помах крил метелика символізує дрібні зміни в первісному стані системи, які викликають ланцюжок подій, які ведуть до великомасштабних змін. Якби метелик не плескала крилами, то траєкторія системи була б зовсім іншою, що в принципі доводить певну лінійність системи. Але дрібні зміни в первісному стані системи, можуть і не викликати ланцюжок подій.


2.2. Топологічний змішування

Топологічний змішування в динаміці хаосу означає таку схему розширення системи, що одна її область в якійсь стадії розширення накладається на будь-яку іншу область. Математичне поняття "змішування", як приклад хаотичної системи, відповідає змішування різнокольорових фарб або рідини.

2.3. Тонкощі визначення

Приклад топологічного змішування, де x → 4 x (1 - x) і y → x + y, якщо x + y <1 (інакше x + y - 1). Тут синій регіон в процесі розвитку був перетворений спочатку у фіолетовий, потім у рожевий та червоний регіони і в кінцевому підсумку виглядає як хмара точок, розкиданих поперек простору

У популярних роботах чутливість до первинних умов часто плутається з самим хаосом. Грань дуже тонка, оскільки залежить від вибору показників вимірювання та визначення відстаней в конкретній стадії системи. Наприклад, розглянемо просту динамічну систему, яка неодноразово подвоює первинні значення. Така система має вразливу залежність від початкових умов скрізь, тому що будь-які дві сусідні точки в початковій стадії згодом випадковим чином будуть на значній відстані один від одного. Однак її поведінка тривіально, оскільки всі крапки крім нуля мають тенденцію до нескінченності, і це не топологічний змішування. У визначенні хаосу увагу зазвичай обмежується тільки закритими системами, в яких розширення і чутливість до первинних умов об'єднуються зі змішуванням.

Навіть для закритих систем, чутливість до первинних умов не ідентична з хаосом в сенсі викладеному вище. Наприклад, розглянемо тор (геометрична фігура, поверхня обертання кола - має форму бублика), заданий парою кутів (x, y) зі значеннями від нуля до . Відображення будь точки (x, y) визначається як (2x, y + a), де значення a/2π є ірраціональним. Подвоєну першу координати у відображенні вказує на чутливість до первинних умов. Однак, через ірраціонального зміни в другій координаті, немає ніяких періодичних орбіт - отже відображення не є хаотичним згідно з вищезазначеним визначенням.


3. Атрактори

Графік аттрактора Лоренца для значень r = 28, σ = 10, b = 8 / 3

Аттрактор (англ. attract - залучати, притягати) - безліч станів (точніше - точок фазового простору) динамічної системи, до якого вона прагне з плином часу. Найбільш простими варіантами аттрактора є притягає нерухома точка (наприклад, в задачі про маятнику з тертям) і періодична траєкторія (приклад - самозбудні коливання в контурі з позитивним зворотним зв'язком), проте бувають і значно складніші приклади. Деякі динамічні системи є хаотичними завжди, але в більшості випадків хаотична поведінка спостерігається тільки в тих випадках, коли параметри динамічної системи належать до деякого спеціальному підпростір.

Найбільш цікаві випадки хаотичного поведінки, коли великий набір первинних умов призводить до зміни на орбітах аттрактора. Простий спосіб продемонструвати хаотичний аттрактор - це почати з точки в районі тяжіння аттрактора і потім скласти графік його подальшої орбіти. Через стан топологічної транзитивності, це схоже на відображення картини повного кінцевого аттрактора. Наприклад, у системі описує маятник - простір двовимірне і складається з даних про стан і швидкості. Можна скласти графік положень маятника і його швидкості. Положення маятника в спокої буде точкою, а один період коливань буде виглядати на графіку як проста замкнута крива. Графік у формі замкнутої кривої називають орбітою. Маятник має нескінченну кількість таких орбіт, формуючи по увазі сукупність вкладених еліпсів.


4. Дивні атрактори

Аттрактор Лоренца як діаграма хаотичної системи. Ці два графіки демонструють вразливу залежність від початкових умов у межах зайнятого аттрактором регіону

Більшість типів руху описується простими аттракторами, які є обмеженими циклами. Хаотичний рух описується дивними аттракторами, які дуже складні і мають багато параметрів. Наприклад, проста тривимірна система погоди описується відомим аттракторів Лоренца ( Lorenz) - однієї з найвідоміших діаграм хаотичних систем, не тільки тому, що вона була однією з перших, але й тому, що вона одна з найскладніших. Іншим таким аттракторів є - відображення Реслера ( Rssler), яка має подвійний період, подібно логістичного відображення. Дивні атрактори з'являються в обох системах, і в безперервних динамічних (типу системи Лоренца) і в деяких дискретних (наприклад відображення Хенона (Hnon)). Деякі дискретні динамічні системи названі системами Жуліа за походженням. І дивні атрактори і системи Жуліа мають типову рекурсивну, фрактальну структуру. Теорема Пуанкаре-Бендіксона доводить, що дивний аттрактор може виникнути в безперервній динамічній системі, тільки якщо вона має три або більше вимірювань. Однак це обмеження не працює для дискретних динамічних систем. Дискретні двох-і навіть одномірні системи можуть мати дивні атрактори. Рух трьох або більшої кількості тіл, що зазнають гравітаційне Притягнення при деяких початкових умов може виявитися хаотичним рухом.


5. Прості хаотичні системи

Хаотичними можуть бути і прості системи без диференціальних рівнянь. Прикладом може бути логістичне відображення, яке описує зміну кількості населення з плином часу. Логістичне відображення є поліноміальним відображенням другого ступеня і часто наводиться як типового прикладу того, як хаотична поведінка може виникати з дуже простих нелінійних динамічних рівнянь. Ще один приклад - це модель Рікера, яка також описує динаміку населення.

Клітинний автомат - це набір клітин, що утворюють деяку періодичну решітку із заданими правилами переходу. Клітинний автомат є дискретною динамічною системою, поведінка якої повністю визначається в термінах локальних залежностей. Еволюція навіть простих дискретних систем, таких як клітинні автомати може сильно залежати від початкових умов. Стівен Вольфрам досліджував це властивість клітинного автомата і назвав його Правило № 30. Просту модель консервативного (оборотного) хаотичного поведінки демонструє так зване відображення "кіт Арнольда". У математиці відображення "кіт Арнольда" є моделлю тора, яку він продемонстрував в 1960 році з використанням образу кішки.

Показати хаос для відповідних значень параметра може навіть одномірне відображення, але для диференціального рівняння потрібно три або більше вимірювань. Теорема Пуанкаре - Бендіксона стверджує, що двовимірне диференціальне рівняння має дуже стабільна поведінка. Zhang і Heidel довели, що тривимірні квадратичні системи тільки з трьома або чотирма змінними не можуть демонструвати хаотична поведінка. Причина в тому, що вирішення таких систем є асимптотичними по відношенню до двовимірним площинах, і тому являють собою стабільні рішення.


6. Математична теорія

Теорема Шарковський - це основа докази Лі та Йорку (Li and Yorke) (1975) про те, що одномірна система з регулярним потрійним періодом циклу може відобразити регулярні цикли будь-який інший довжини так само, як і повністю хаотичних орбіт. Математики винайшли багато додаткових способів описати хаотичні системи кількісними показниками. Сюди входять: рекурсивне вимір аттрактора, експоненти Ляпунова, графіки рекурентного співвідношення, відображення Пуанкаре, діаграми подвоєння і оператор зсуву.


7. Хронологія

Фрактальний папороть, створений завдяки грі хаосу. Природні форми (папороті, хмари, гори і т. д.) можуть бути відтворені через систему повторюваних функцій

Першим дослідником хаосу був Анрі Пуанкаре. У 1880-х, при вивченні поведінки системи з трьома тілами, взаємодіючими гравітаційно, він зауважив, що можуть бути неперіодичні орбіти, які постійно і не видаляються і не наближаються до конкретної точки. У 1898 Жак Адамар видав впливову роботу про хаотичному русі вільної частинки, ковзної без тертя по поверхні постійної негативної кривизни. У своїй роботі "більярд Адамара" він довів, що всі траєкторії непостійні і частки в них відхиляються один від одного з позитивною експонентою Ляпунова.

Майже вся більш рання теорія, під назвою ергодична теорія, була розроблена тільки математиками. Пізніше нелінійні диференціальні рівняння вивчали Г. Біргхоф, A.Колмогоров, M. Каретник, Й. Літлвуд і Стівен Смейл. Крім С. Смейла, на вивчення хаосу всіх їх надихнула фізика: поведінка трьох тіл у випадку з Г. Біргхофом, турбуленція і астрономічні дослідження у випадку з А. Колмогоровим, радіотехніка у випадку з М. Каретником і Й. Літлвуд. Хоча хаотичне планетарне рух не вивчалося, експериментатори зіткнулися з турбуленцією в рідині і неперіодичними коливаннями в радіо-схемах, не маючи достатньої теорії щоб це пояснити.

Незважаючи на спроби зрозуміти хаос в першій половині двадцятого століття, теорія хаосу як така почала формуватися тільки з середини століття. Тоді для деяких вчених стало очевидно, що переважає в той час лінійна теорія просто не може пояснити деякі спостережувані експерименти подібно логістичного відображення. Щоб заздалегідь виключити неточності при вивченні - прості "перешкоди" у теорії хаосу вважали повноцінною складовою вивчається. Основним каталізатором для розвитку теорії хаосу стала електронно-обчислювальна машина. Велика частина математики в теорії хаосу виконує повторну ітерацію простих математичних формул, які робити вручну непрактично. Електронно-обчислювальні машини робили такі повторні обчислення досить швидко, тоді як малюнки та зображення дозволяли візуалізувати ці системи.

Одним з піонерів в теорії хаосу був Едвард Лоренц, інтерес якого до хаосу з'явився випадково, коли він працював над пророкуванням погоди в 1961 році. Погодне Моделювання Лоренц виконував на простому цифровому комп'ютері McBee LGP-30. Коли він захотів побачити всю послідовність даних, тоді, щоб заощадити час, він запустив моделювання з середини процесу. Хоча це можна було зробити ввівши дані з роздруківки, які він обчислив минулого разу.

На його подив погода, яку машина почала пророкувати, повністю відрізнялася від погоди, розрахованої раніше. Лоренц звернувся до комп'ютерної роздруківці. Комп'ютер працював з точністю до 6 цифр, але роздруківка округлила змінні до 3 цифр, наприклад значення 0.506127 було надруковано як 0.506. Це несуттєве відмінність не повинно було мати фактично ніякого ефекту. Однак Лоренц виявив, що найменші зміни в первісних умовах викликають великі зміни в результаті. Відкриттю дали ім'я Лоренца і воно довело, що Метеорологія не може точно передбачити погоду на період більше тижня. Роком раніше, Бенуа Мандельброт знайшов повторювані зразки в кожній групі даних про ціни на бавовну. Він вивчав теорію інформації і зробив висновок, що Структура перешкод подібна набору Регента: в будь-якому масштабі пропорція періодів з перешкодами до періодів без них була константа - значить помилки неминучі і повинні бути заплановані. Мандельброт описав два явища: "ефект Листопад ", який виникає, коли відбуваються раптові переривчасті зміни, наприклад, зміна цін після поганих новин" та "ефект Йосипа "в якому значення постійні деякий час, але все ж раптово змінюються згодом. У 1967 він видав роботу" Якої довжини узбережжя Великобританії? Статистичні дані подібності і відмінностей у вимірах "доводячи, що дані про довжину берегової лінії змінюються в залежності від масштабу вимірювального приладу. Він стверджував, що клубок мотузки здається крапкою, якщо його розглядати здалеку (0-мірний простір), він же буде клубком або кулею , якщо його розглядати достатньо близько (3-мірний простір) або може виглядати замкнутої кривої лінією зверху (1-мірний простір). Він довів, що дані вимірювання об'єкта завжди відносні і залежать від точки спостереження.

Об'єкт, зображення якого є постійними в різних масштабах ("самоподібність") є фракталом (наприклад крива Коха або "сніжинка"). У 1975 році Мандельброт опублікував роботу "Фрактальна геометрія природи", яка стала класичною теорією хаосу. Деякі біологічні системи, такі як система кровообігу і бронхіальна система, підходять під опис фрактальної моделі.

Турбулентні потоки повітря від крила літака, що утворюються під час його посадки. Вивчення критичної точки, після якої система створює турбулентність, були важливі для розвитку теорії Хаосу. Наприклад, радянський фізик Лев Ландау розробив Ландау-Хопф теорію турбулентності. Пізніше, Девід Руелл і Флоріс Тейкнс передбачили, всупереч Ландау, що турбулентність в рідині могла розвинутися через дивний аттрактор, тобто основну концепцію теорії хаосу

Явища хаосу спостерігали багато експериментатори ще до того, як його почали досліджувати. Наприклад, в 1927 році Ван дер Поль, а в 1958 році П. Івес. 27 листопада 1961 Й. Уеда, будучи аспірантом в лабораторії Кіотського університету, зауважив якусь закономірність і назвав її "випадкові явища перетворень", коли експериментував з аналоговими обчислювальними машинами. Проте його керівник не погодився тоді з його висновками і не дозволив йому представити свої висновки громадськості до 1970 року. У грудні 1977 Нью-Йоркська академія наук організувала перший симпозіум про теорію хаосу, який відвідали Девід Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Йорк, Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард і метеоролог Едвард Лоренц. У наступному році, Мітчелл Феідженбом видав статтю "Кількісна універсальність для нелінійних перетворень", де він описав логістичні відображення. М. Феідженбом застосував рекурсивну геометрію до вивчення природних форм, таких як берегові лінії. Особливість його роботи в тому, що він встановив універсальність в хаосі і застосовував теорію хаосу до багатьох явищ. У 1979 Альберт Дж. Лібчейбр на симпозіумі в Осика, представив свої експериментальні спостереження каскаду роздвоєння, який веде до хаосу. Його нагородили премією Вольфа у фізиці разом з Мітчеллом Дж. Фейгенбаум в 1986 "за блискучу експериментальну демонстрацію переходів до хаосу в динамічних системах ". Тоді ж в 1986 Нью-Йоркська Академія Наук разом з національним Інститутом Мозку і центром Військово-морських досліджень організували першу важливу конференцію з хаосу в біології та медицині. Там, Бернардо Уберман продемонстрував математичну модель очі і порушень його рухливості серед шизофреніків. Це призвело до широкого застосування теорії хаосу в фізіології в 1980-х, наприклад у вивченні патології серцевих циклів. У 1987 Пер Бак, Чао Тан і Курт Вісенфелд надрукували статтю в газеті, де вперше описали систему самодостатності (СС), яка є одним з природних механізмів. Багато досліджень тоді були сконцентровані навколо великомасштабних природних або соціальних систем. CC стала сильним претендентом на пояснення безлічі природних явищ, включаючи: землетруси, сонячні сплески, коливання в економічних системах, формування ландшафту, лісові пожежі, зсуви, епідемії і біологічна еволюція. Враховуючи нестабільний і безмасштабное розподіл випадків виникнення, дивно, що деякі дослідники запропонували розглянути як приклад CC виникнення воєн. Ці "прикладні" дослідження включали в себе дві спроби моделювання: розробка нових моделей і пристосування існуючих до даної природній системі.

У той же самий рік Джеймс Глеік видав роботу "Хаос: створення нової науки", яка стала бестселером і представила широкій публіці загальні принципи теорії хаосу і її хронологію. Теорія хаосу прогресивно розвивалася як міжпредметних і університетська дисципліна, головним чином під назвою аналіз нелінійних систем. Спираючись на концепцію Томаса Куна про парадигму зсуву, багато "вчених-Хаотика" (так вони самі назвали себе) стверджували, що ця нова теорія і є приклад зсуву. Доступність більш дешевих, більш потужних комп'ютерів розширює можливості застосування теорії хаосу. В даний час, теорія хаосу продовжує бути дуже активною областю досліджень, залучаючи багато різних дисциплін (математика, топологія, фізика, біологія, метеорологія, астрофізика, теорія інформації, і т. д.).


8. Застосування

Теорія хаосу застосовується в багатьох наукових дисциплінах: математика, біологія, інформатика, економіка, інженерія, фінанси, філософія, фізика, політика, психологія та робототехніка. У лабораторії хаотична поведінка можна спостерігати в різних системах, наприклад електричні схеми, лазери, хімічні реакції, динаміка рідин і магнітно-механічних пристроїв. У природі хаотична поведінка спостерігається в русі супутників сонячної системи, еволюції магнітного поля астрономічних тіл, прирості населення в екології, динаміці потенціалів в нейронах і молекулярних коливаннях. Є сумніви про існування динаміки хаосу в тектоніці плит і в економіці.

Одне з найбільш успішних застосувань теорії хаосу було в екології, коли динамічні системи схожі на модель Рікера використовувалися, щоб показати залежність приросту населення від його щільності. В даний час теорія хаосу також застосовується в медицині при вивченні епілепсії для пророкувань нападів, враховуючи первісний стан організму. Схожа область фізики, названа квантовою теорією хаосу, досліджує зв'язок між хаосом і квантовою механікою. Нещодавно з'явилася нова область, названа хаосом відносності, щоб описати системи, які розвиваються за законами загальної теорії відносності.


9. Відмінності між випадковими і хаотичними даними

Тільки за вихідними даними важко сказати, яким є спостережуваний процес - випадковим або хаотичним, тому що практично не існує явного чистого 'сигналу' відмінності. Завжди будуть деякі перешкоди, навіть якщо їх округляти або не враховувати. Це означає, що будь-яка система, навіть якщо вона детермінована, міститиме трохи випадковостей. Щоб відрізнити детермінований процес від стохастичного, потрібно знати, що детермінована система завжди розвивається по одному і тому ж шляху від даної відправної точки. Таким чином, щоб перевірити процес на детермінізм необхідно:

  1. вибрати тестоване стан;
  2. знайти кілька подібних або майже подібних станів; і
  3. порівняти їх розвиток у часі.

Похибка визначається як різниця між змінами в тестованому і подібному станах. Детермінована система буде мати дуже маленьку погрішність (стійкий, постійний результат) або вона буде збільшуватися по експоненті з часом (хаос). Стохастична система матиме безладно розподілену похибка.

По суті всі методи визначення детермінізму грунтуються на виявленні станів, найближчих до даного тестируемому (тобто, вимірюванню кореляції, експоненти Ляпунова, і т.д.). Щоб визначити стан системи зазвичай покладаються на просторові методи визначення стадії розвитку. Дослідник вибирає діапазон вимірювання і досліджує розвиток похибки між двома прилеглими станами. Якщо вона виглядає випадковою, тоді потрібно збільшити діапазон, щоб отримати детерміновану похибка. Здається, що це зробити просто, але на ділі це не так. По-перше, складність полягає в тому, що, при збільшенні діапазону вимірювання, пошук довколишнього стану вимагає набагато більшої кількості часу для обчислень щоб знайти відповідного претендента. Якщо діапазон вимірювання обраний занадто маленьким, то детерміновані дані можуть виглядати випадковими, але якщо діапазон занадто великий, то цього не трапиться - метод буде працювати.

Коли в нелінійну детерміновану систему втручаються зовнішні перешкоди, її траєкторія постійно спотворюється. Більше того, дії перешкод посилюються через нелінійності і система показує повністю нові динамічні властивості. Статистичні випробування, які намагаються відокремити перешкоди від детермінованою основи або ізолювати їх, зазнали невдачі. При наявності взаємодії між нелінійними детермінованими компонентами і перешкодами, в результаті з'являється динаміка, яку традиційні випробування на нелінійність іноді не здатні фіксувати.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Магія Хаосу
Грань хаосу
М-теорія
Теорія
Теорія
Теорія 4P
Теорія архітектури
Теорія мотивів
Теорія відносності
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru