Теорія теплоємності Ейнштейна

$S = k_B \, \ ln \ Omega$

Термодинаміка
Молекулярно-кінетична теорія

Статистики
Максвелла-Больцмана Бозе-Ейнштейна Фермі-Дірака Parastatistics Anyonic statistics Braid statistics

Ансамблі
Мікроканоніческій Канонічний Великий канонічний Ізотерм-ізобаріческом Ізоенатльпі-ізобаріческом Відкритий

Термодинаміка
Рівняння стану Цикл Карно Закон Дюлонга - Пті

Моделі
Модель Дебая Ейнштейна Модель Изинга

Потенціали
Внутрішня енергія Ентальпія Вільна енергія Гельмгольца потенціал Гіббса Великий термодинамічний потенціал

Відомі вчені
Максвелл Гіббс Больцман

Див також: Портал: Фізика

Квантова теорія теплоємностей Ейнштейна була створена Ейнштейном в 1907 при спробі пояснити експериментально спостережувану залежність теплоємності від температури.

При розробці теорії Ейнштейн спирався на наступні припущення:

Атоми в кристалічній решітці поводяться як гармонійні осцилятори, що не взаємодіють один з одним.
Частота коливань всіх осциляторів однакова.
Число осциляторів в 1 моле речовини одно , Де - число Авогадро.
Енергія їх квантована: $~ \ Varepsilon = n \ hbar \ omega$ , $~ N \ in N$
Число осциляторів з різною енергією визначається розподілом Больцмана : $~ N = N_0 \ exp \ left \ {- {\ hbar \ omega \ over k T} n \ right \}$

Внутрішня енергія 1 благаючи речовини:

$\ Bar {U} _ \ mu = 3 \ bar {\ varepsilon} N_a$ .

$\ Bar {\ varepsilon}$ знаходиться із співвідношення для середнього значення:

$\ Bar {\ varepsilon} = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} {\ varepsilon_n N \ over N_0}$

і становить:

$\ Bar {\ varepsilon} = {\ hbar \ omega \ over \ exp \ left \ {{\ hbar \ omega \ over kT} \ right \} -1}$ ,

звідси:

$\ Bar {U} _ \ mu = 3 N_a \ hbar \ omega {1 \ over \ exp \ left \ {{\ hbar \ omega \ over kT} \ right \} -1}$ .

Визначаючи теплоємність як похідну внутрішньої енергії по температурі, отримуємо остаточну формулу для теплоємності:

$C = {dU \ over dT} = 3 R \ left ({\ hbar \ omega \ over kT} \ right) ^ 2 {\ exp \ left \ {{\ hbar \ omega \ over kT} \ right \} \ over \ left (\ exp \ left \ {{\ hbar \ omega \ over kT} \ right \} -1 \ right) ^ 2}$ .

Згідно моделі, запропонованої Ейнштейном, при абсолютному нулі температури теплоємність прагне до нуля, при великих температурах, навпаки, виконується закон Дюлонга - Пті. Величина $\ Theta_E = {\ hbar \ omega \ over k}$ іноді називається температурою Ейнштейна.

Недоліки теорії

Розбіжність теорій Ейнштейна і Дебая

Теорія Ейнштейна, однак, недостатньо добре узгоджується з результатами експериментів в силу неточності деяких припущень Ейнштейна, зокрема, припущення про рівність частот коливань всіх осциляторів. Більш точна теорія була створена Дебаєм в 1912.

Джерела

Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. - Т. II. Термодинаміка і молекулярна фізика.