Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тор (поверхня)



План:


Введення

Червоним - твірна окружність

Тор (тороід) - поверхню обертання, що отримується обертанням утворює кола навколо осі, що лежить в площині цієї окружності.


1. Вісь тора

Вісь тора може лежати поза твірної кола або торкатися її.

  • Зміна відстані до осі обертання
  • Standard torus-ring.png
  • Standard torus-horn.png
  • Standard torus-spindle.png
  • Les trois types de tores.PNG
  • Sphere-like degenerate torus.gif
  • Kepler hodograph family.png

При перетині тора обертання "діагональної" дотичній площиною, що проходить через центру тора (ця площина автоматично виходить бікасательной) утворюються окружності Вілларсо.


2. Рівняння

Torus 3d.png

2.1. Параметричне

Рівняння тора з відстанню від центру твірної кола до осі обертання R і з радіусом твірної кола r може бути задано параметрично у вигляді:

  • \ Left \ {\ begin {matrix} x (\ varphi, \ psi) = & (R + r \ cos \ varphi) \ cos \ psi \ \ y (\ varphi, \ psi) = & (R + r \ cos \ varphi) \ sin \ psi \ \ z (\ varphi, \ psi) = & r \ sin \ varphi \ \ \ end {matrix} \ right. \ Qquad \ varphi, \ psi \ in [0,2 \ pi)

2.2. Алгебраїчне

Непараметричні рівняння в тих же координатах і з тими ж радіусами має четверту ступінь:

\ Left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + R ^ 2-r ^ 2 \ right) ^ 2-4R ^ 2 \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) = 0

Зокрема, тор є поверхнею четвертого порядку.

3. Властивості

  • Площа поверхні тора як наслідок з першої теореми Гульдін : S = 4π 2 R r .
  • Обсяг тіла, обмежуваного тором ( полноторія), як наслідок з другої теореми Гульдін: V = 2π 2 R r 2 .
  • Тор з вирізаним диском ("проколоті") можна вивернути навиворіт безперервним чином ( топологічно, тобто серією діффеоморфізмов). При цьому дві пересічні перпендикулярно колу на ньому ("паралель" і "меридіан") поміняються місцями. [1]
Етапи вивертання тора
  • Два таких "дірявих" тора, зчеплених між собою, можна продеформіровать так, щоб один з торів "проковтнув" інший. [2]
Варіант забарвлення ділянок тора
  • Мінімальне число кольорів, необхідне для розфарбовування ділянок тора так, щоб сусідні були різного кольору, дорівнює 7 ..

3.1. Перетини

  • При перетині тора бікасательной площиною, що виходить крива четвертого порядку виявляється виродженої: перетин є об'єднанням двох кіл званих колами Вілларсо.
    • Зокрема відкритий тор може бути предтавлен як поверхня обертання кола зачепленою за вісь обертання
  • Одне з перетинів відкритого тора - Лемніската Бернуллі, інші

криві лінії є графічними лініями і називаються кривими Персея [3] (спіріческімі лініями, перетинами тора площиною, паралельної його осі)

  • Деякі перетину поверхні тора площиною зовні нагадують еліпс (криву 2-го порядку). Отримана таким чином крива виражається алгебраїчним рівнянням 4-го порядку [4].
Перетини

4. Історія

Тороїдальне поверхню вперше була розглянута давньогрецьким математиком Архітом при вирішенні задачі про подвоєння куба. Інший давньогрецький математик, Персей, написав книгу про спіріческіх лініях - перетинах тора площиною, паралельної його осі.

5. Варіації і узагальнення

  • В топології тор визначається як твір двох кіл S ^ 1 \ times S ^ 1 ; Узагальненням цього поняття є n -Мірний тор T ^ n = S ^ 1 \ underbrace {\ times \ dots \ times} _ {n \ text {times}} S ^ 1 = \ R ^ n / \ Z ^ n.

Література

  • Савелов А. А. Плоскі криві: Систематика, властивості, застосування. М.: Фізматгіз, 1960. 293 с. Перевидана в 2002 році, ISBN 5-93972-125-7

Примітки

  1. Етапи вивертання тора були приведені в статті Альберта Такера та Герберта Бейлі "Топологія" в Scientific American у січні 1950 р.
  2. Подробиці наведені в статті М. Гарднера в Scientific American за березень 1977 Інші парадокси, пов'язані з торами можна знайти в статтях М. Гарднера, опублікованих в Scientific American у грудні 1972 та грудні 1979 рр..
  3. Теоретичні основи рішення задач з нарисної геометрії: Навчальний посібник - window.edu.ru/window/library/pdf2txt? p_id = 26408 & p_page = 12
  4. Перетин сфери і тора площиною. Приклад побудови "лінії зрізу" на поверхні комбінованого тіла обертання - www.nachert.ru/course/?lesson=15&id=113

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Поверхня
Тор
Підстилаюча поверхня
Вільна поверхня
Лінійчата поверхня
Поверхня Безьє
Поверхня Ліувілля
Поверхня Зейферта
Поверхня обертання
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru