Тотожність Ейлера (комплексний аналіз)

Експоненціальна функція e z може бути визначена як межа послідовності (1 + z / N) N , При N прагне до нескінченності, і тому e є межа (1 + iπ / N) N . На цій анімації N приймає різні зростаючі значення від 1 до 100.

Тотожність Ейлера - відоме тотожність, що зв'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

e ^ {i \ pi} + 1 = 0, \, \!

де

e \, \! - число е, або основа натурального логарифма,
i \, \! - уявна одиниця,
\ Pi \, \! - пі, відношення довжини окружності до довжини її діаметра,
1 \, \! - одиниця, нейтральний елемент по операції множення,
0 \, \! - нуль, нейтральний елемент по операції складання.

Тотожність Ейлера іноді називають рівнянням Ейлера.


Історія

Формула Ейлера, з якої відразу слід дане тотожність, була опублікована Ейлером в 1740 році. Тотожність справило глибоке враження на науковий світ. Були навіть спроби містично витлумачити його як символ єдності математики: числа 0 і 1 відносяться до арифметиці, уявна одиниця - до алгебрі, число\ Pi - До геометрії, а число e - до математичного аналізу [1].


Висновок

Euler's formula.svg

Тотожність Ейлера - це особливий випадок формули Ейлера з комплексного аналізу :

e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x \, \!

для будь-якого речовинного x . (Зауважимо, що аргументи тригонометричних функцій \ Sin і \ Cos взяті в радіанах). Зокрема

e ^ {i \ pi} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi. \, \!

А з того, що

\ Cos \ pi = -1 \, \!

і

\ Sin \ pi = 0, \, \!

слід

e ^ {i \ pi} = -1, \, \!

що дає тотожність:

e ^ {i \ pi} +1 = 0. \, \!

Примітки

  1. Данциг, Тобіас. Числа - мова науки. - М .: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7