Точка Лемуана

Точка Лемуана (точка перетину сімедіан, точка гріб, позначається K або L ) - Одна з чудових точок трикутника.

1. Визначення

У точки Лемуана існує два рівносильних визначення:

• точка перетину прямих, що з'єднують кожну вершину трикутника з точками перетину дотичних до описаної окружності, проведених з двох інших вершин.
• точка перетину сімедіан.

Утверждніе про равносильности цих визначень називається теоремою про сімедіане.

Доказ

Ілюстрація до другого визначення точки Лемуана

Нехай A ₁ - Точка перетину дотичних у вершинах B і C до описаної окружності, A _M - Середина сторони B C . Тоді, так як B C - поляри точки A ₁ щодо описаної окружності, а A _M - Підстава перпендикуляра на сторону B C з центру описаної окружності. З визначення поляри випливає, що точки A ₁ і A _M симетричні щодо кола. Нехай точка A ₀ - Середина дуги B C описаної окружності, що не містить точки A . Тоді , Тобто пряма A A ₁ і медіана A A _M симетричні щодо бісектриси A A ₀ . Аналогічно симетричні медианами інші дві прямі, побудовані таким чином. Але їхня точка перетину - точка Лемуана, а, значить, точка Лемуана ізогонально пов'язана точці перетину медіан і є точкою перетину сімедіан.

2. Історія

Вперше точку Лемуана виявив ( 1809) швейцарський геометр і тополог Симон Антуан Жан Люілье. Цій точці було присвячене дослідження ( 1847) Ернста Вільгельма гріб, в честь якого в Німеччині вона називалася точкою гріб. Точка названа на честь французького геометра Еміля Лемуана, що опублікував доказ існування точки ( 1873).

3. Властивості

• Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, коли ця точка є точкою Лемуана.
• Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін.
• Точка Лемуана є точкою перетину медіан трикутника, утвореного проекціями точки Лемуана на сторони. Більше того, така точка єдина.
• Точка Лемуана є точкою Жергонна трикутника, утвореного дотичними до описаної окружності в вершинах трикутника.
• Точка Лемуана є антіперспектором описаного кола. Трилинейная поляри точок на описаної окружності проходять через точку Лемуана.
• Якщо провести через точку Лемуана відрізки, паралельні сторонам трикутника, з кінцями на сторонах, то кінці цих відрізків будуть лежати на одній окружності.
• Якщо провести через точку Лемуана відрізки, антипаралельних сторонам трикутника, з кінцями на сторонах, то кінці цих відрізків будуть лежати на одній окружності. Точка Лемуана буде її центром.
• Окружність, побудована на відрізку O K ( O - Центр описаного кола) як на діаметрі, містить точки Брокар. Ця коло називається колом Брокар.
• Пряма O K називається віссю Брокар. Вона містить точки Аполлонія і ізогонально пов'язана гіперболі Кіперта.
• При проективних перетвореннях, що зберігають описану окружність трикутника, точка Лемуана буде переходити в точку Лемуана образу цього трикутника.

4. Координати

Трилинейная координати точки Лемуана - (A: b: c) , баріцентріческіе - (A ^2: b ^2: c ²⁾ .

Примітки