Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Точка Лемуана



План:


Введення

Точка Лемуана (точка перетину сімедіан, точка гріб, позначається K або L ) - Одна з чудових точок трикутника.


1. Визначення

У точки Лемуана існує два рівносильних визначення:

  • точка перетину прямих, що з'єднують кожну вершину трикутника з точками перетину дотичних до описаної окружності, проведених з двох інших вершин.
  • точка перетину сімедіан.

Утверждніе про равносильности цих визначень називається теоремою про сімедіане.

Доказ
Ілюстрація до другого визначення точки Лемуана

Нехай A 1 - Точка перетину дотичних у вершинах B і C до описаної окружності, A M - Середина сторони B C . Тоді, так як B C - поляри точки A 1 щодо описаної окружності, а A M - Підстава перпендикуляра на сторону B C з центру описаної окружності. З визначення поляри випливає, що точки A 1 і A M симетричні щодо кола. Нехай точка A 0 - Середина дуги B C описаної окружності, що не містить точки A . Тоді \ Angle A_0AA_M = \ angle A_0AA_1 , Тобто пряма A A 1 і медіана A A M симетричні щодо бісектриси A A 0 . Аналогічно симетричні медианами інші дві прямі, побудовані таким чином. Але їхня точка перетину - точка Лемуана, а, значить, точка Лемуана ізогонально пов'язана точці перетину медіан і є точкою перетину сімедіан.


2. Історія

Вперше точку Лемуана виявив ( 1809) швейцарський геометр і тополог Симон Антуан Жан Люілье. Цій точці було присвячене дослідження ( 1847) Ернста Вільгельма гріб, в честь якого в Німеччині вона називалася точкою гріб. Точка названа на честь французького геометра Еміля Лемуана, що опублікував доказ існування точки ( 1873).

3. Властивості

  • Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, коли ця точка є точкою Лемуана.
  • Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін.
  • Точка Лемуана є точкою перетину медіан трикутника, утвореного проекціями точки Лемуана на сторони. Більше того, така точка єдина.
  • Точка Лемуана є точкою Жергонна трикутника, утвореного дотичними до описаної окружності в вершинах трикутника.
  • Точка Лемуана є антіперспектором описаного кола. Трилинейная поляри точок на описаної окружності проходять через точку Лемуана.
  • Якщо провести через точку Лемуана відрізки, паралельні сторонам трикутника, з кінцями на сторонах, то кінці цих відрізків будуть лежати на одній окружності.
  • Якщо провести через точку Лемуана відрізки, антипаралельних сторонам трикутника, з кінцями на сторонах, то кінці цих відрізків будуть лежати на одній окружності. Точка Лемуана буде її центром.
  • Окружність, побудована на відрізку O K ( O - Центр описаного кола) як на діаметрі, містить точки Брокар. Ця коло називається колом Брокар.
  • Пряма O K називається віссю Брокар. Вона містить точки Аполлонія і ізогонально пов'язана гіперболі Кіперта.
  • При проективних перетвореннях, що зберігають описану окружність трикутника, точка Лемуана буде переходити в точку Лемуана образу цього трикутника.

4. Координати

Трилинейная координати точки Лемуана - (A: b: c) , баріцентріческіе - (A 2: b 2: c 2) .

Примітки


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Мережа точка-точка
Точка
Точка зйомки
Точка монтування
Точка зламу
Точка Ферма
Точка біфуркації
Точка повернення
Лямбда-точка
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru