Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Третя проблема Гільберта



План:


Введення

Третя проблема Гільберта - третя з проблем, поставлених Давидом Гільбертом в його знаменитому доповіді на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році. Ця проблема присвячена питанням равносоставленності багатогранників : можливості розрізання двох многогранників рівного об'єму на кінцеве число рівних частин-багатогранників.

Постановка такого питання була пов'язана з тим, що, з одного боку, на площині будь-які два багатокутника рівної площі равносоставлени - як стверджує теорема Бойя - Гервіна. З іншого боку, були способи доказу формули для обсягу тетраедра (1 / 3 твори висоти на площу основи) так чи інакше були пов'язані з граничними переходами, і тим самим з аксіомою Архімеда [1]. Хоча буквально в запропонованій Гільбертом формулюванні йшлося про равносоставленності тетраедрів (а, точніше, про доказ неможливості такого розбиття в загальному випадку), вона негайно і природно розширюється до питання про равносоставленності довільних багатогранників заданого обсягу (а, точніше, про необхідних і достатніх для цього умовах).

Третя проблема виявилася найпростішою з проблем Гільберта: приклад неравносоставленних тетраедрів рівного об'єму був пред'явлений вже через рік, в 1901 році, в роботі [2] учня Гільберта М. Дена (англ.). А саме, їм була побудована (приймаюча значення в деякій абстрактній групі) величина - інваріант Дена - значення якої на равносоставленних многогранниках рівні, та пред'явлений приклад тетраедрів рівного об'єму, для яких значення інваріанту Дена розрізняються.

Надалі, Слайдер в своїй роботі [3] 1965 показав, що збіг обсягу та інваріанта Дена є не тільки необхідними, а й достатніми умовами равносоставленності багатогранників.


1. Формулювання проблеми

2. Інваріант Дена

Інваріант, побудований Деном, приймає значення в абстрактній групі (і, більше того, векторному просторі над \ Q )

V = \ R \ otimes_ {\ Q} \ R / \ langle \ {l \ otimes \ pi \ mid l \ in \ R \} \ rangle.

А саме, для багатогранника P з довжинами ребер l_1, \ dots, l_n та відповідними їм двогранними кутами \ Alpha_1, \ dots, \ alpha_n інваріант Дена D (P) вважається рівним

D (P): = \ sum_i l_i \ otimes \ alpha_i \ in V

При розрізуванні багатогранника на частини значення суми "довжина ребра \ Otimes прилежащий кут "може змінюватися тільки при виникненні / зникнення нових ребер, що виникають всередині або на кордоні. Але в таких ребер сума прилеглих до них двогранних кутів дорівнює або π відповідно, тому як елемент фактора V інваріант Дена не змінюється.


2.1. Приклад

Прикладом застосування інваріанта Дена є неравносоставленность куба і правильного тетраедра рівного йому об'єму: для куба з ребром l інваріант Дена дорівнює 12 l \ otimes \ frac {\ pi} {2} = 6l \ otimes \ pi = 0 , А для правильного тетраедра з ребром a -

6a \ otimes 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ neq 0,

оскільки \ Arctan \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ notin \ Q \ pi.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Тринадцята проблема Гільберта
Друга проблема Гільберта
Шістнадцята проблема Гільберта
Чотирнадцята проблема Гільберта
Десята проблема Гільберта
Сімнадцята проблема Гільберта
Двадцять перша проблема Гільберта
Аксіоматика Гільберта
Теорема Гільберта 90
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru