Знаймо

Додати знання

приховати рекламу



Цей текст може містити помилки.

Тригонометричні тотожності



План:


Введення

Тригонометричні тотожності - математичні вирази для тригонометричних функцій, які виконуються при всіх значеннях аргументу (із загальної області визначення).


1. Основні тригонометричні формули

Формула Допустимі значення аргументу Номер
~ \ Sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = 1\ Forall \ alpha (1)
\ Operatorname {tg} ^ 2 \ alpha + 1 = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ alpha} = \ operatorname {sec} ^ 2 \ alpha\ Alpha \ neq \ frac {\ pi} {2} + \ pi n, n \ in \ mathbb Z (2)
\ Operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha + 1 = \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ alpha} = \ operatorname {cosec} ^ 2 \ alpha\ Alpha \ neq \ pi n, n \ in \ mathbb Z (3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора. Формули (2) і (3) виходять з формули (1) діленням на ~ \ Cos ^ 2 \ alpha і ~ \ Sin ^ 2 \ alpha відповідно.


2. Формули додавання аргументів

Формули додавання аргументів
\ Sin \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta (5)
\ Cos \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \ sin \ beta (6)
\ Operatorname {tg} \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ frac {\ operatorname {tg} \ alpha \ pm \ operatorname {tg} \ beta} {1 \ mp \ operatorname {tg} \ alpha \ operatorname {tg} \ beta} (7)
\ Operatorname {ctg} \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ frac {\ operatorname {ctg} \ alpha \ operatorname {ctg} \ beta \ mp 1} {\ operatorname {ctg} \ beta \ pm \ operatorname {ctg} \ alpha} (8)

Формула (7) виходить при діленні (5) на (6). А формула (8) - при розподілі (6) на (5)

Висновок формул

\ Sin (\ alpha + \ beta), \ \ cos (\ alpha + \ beta)

На Рис. 4 зображені чотири прямокутні трикутника: ABC, ABE, ADE і CDE.

Рис. 4. До висновку формул суми кутів

Прийнято, що AE = 1, \ Angle BAE = \ alpha, \ angle EAC = \ beta, \ angle BAC = \ angle DEC = \ alpha + \ beta .

Так як AE = 1, то

(B E) = sin α
(A B) = cos α
(D E) = sin β
(A D) = cos β .

З трикутника ABC слід:

\ Sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ sin \ alpha + (CE)} {\ cos \ beta + (CD)} \ qquad \ qquad (14)
\ Cos (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta + (CD)} \ qquad \ qquad (15)

З трикутника CDE слід:

\ Sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {CD} {CE} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (16)
\ Cos (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ sin \ beta} {CE} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (17) .

Прирівнюємо праві частини рівнянь (14) і (16):

\ Frac {(CD)} {(CE)} = \ frac {\ sin \ alpha + (CE)} {\ cos \ beta + (CD)}
(CD) \ cos \ beta + (CD) ^ 2 = (CE) \ sin \ alpha + (CE) ^ 2 \ qquad (18)

Прирівнюємо праві частини рівнянь (15) і (17) і вирішуємо, отримане рівняння щодо CE:

\ Frac {\ sin \ beta} {(CE)} = \ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta + (CD)}
(CE) = \ frac {\ sin \ beta (\ cos \ beta + (CD))} {\ cos \ alpha} \ qquad \ qquad \ qquad (19) .

Підставляємо (CE) з (19) в (18):

(CD) = \ sin \ beta \ frac {\ sin (\ alpha) \ cos (\ alpha) + \ sin (\ beta) \ cos (\ beta)} {\ cos ^ 2 (\ alpha) - \ sin ^ 2 (\ beta)} \ qquad (20) .

Отримане значення для CD підставляємо в (15):

\ Cos (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta + \ sin \ beta \ frac {\ sin (\ alpha) \ cos (\ alpha) + \ sin (\ beta) \ cos (\ beta)} {\ cos ^ 2 (\ alpha) - \ sin ^ 2 (\ beta)}} =
= \ Frac {\ cos ^ 2 (\ alpha) - \ sin ^ 2 (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} =
= \ Frac {\ cos ^ 2 (\ alpha) - \ sin ^ 2 (\ beta) + \ cos ^ 2 (\ alpha) \ cos ^ 2 (\ beta) - \ cos ^ 2 (\ alpha) \ cos ^ 2 (\ beta) + \ sin ^ 2 (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta) - \ sin ^ 2 (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos ( \ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} =
= \ Frac {\ cos ^ 2 (\ alpha) (1 - \ cos ^ 2 (\ beta)) - \ sin ^ 2 (\ beta) (1 - \ sin ^ 2 (\ alpha)) + \ cos ^ 2 (\ alpha) \ cos ^ 2 (\ beta) - \ sin ^ 2 (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} =
= \ Frac {\ cos ^ 2 (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta) - \ cos ^ 2 (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta) + \ cos ^ 2 (\ alpha) \ cos ^ 2 (\ beta) - \ sin ^ 2 (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta)} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} =
= \ Frac {(\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)) (\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha ) \ sin (\ beta))} {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} .

Отже:

cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) .

З формули (15) випливає:

(CD) = \ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) \ cos (\ alpha + \ beta)} {cos (\ alpha + \ beta)} \ qquad \ qquad (21)

З формули (16) і (17) випливає:

(CD) = \ sin (\ beta) \ frac {\ sin (\ alpha + \ beta)} {\ cos (\ alpha + \ beta)} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (22)

Прирівнюємо праві частини (21) і (22) і знаходимо sin (α + β) :

\ Sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) \ cos (\ alpha + \ beta)} {\ sin (\ beta)} \ qquad \ qquad \ qquad

Підставляємо значення cos (α + β) :

\ Sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ beta) (\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta))} {\ sin (\ beta)} =
= \ Frac {\ cos (\ alpha) - \ cos (\ alpha) \ cos ^ 2 (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ beta)} {\ sin (\ beta)} =
= \ Frac {\ cos (\ alpha) (1 - \ cos ^ 2 (\ beta)) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ beta)} {\ sin (\ beta)} =
= \ Frac {\ cos (\ alpha) \ sin ^ 2 (\ beta) + \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ cos (\ beta)} {\ sin (\ beta)}

Отже:

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) .

3. Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виводяться з формул (5), (6), (7) і (8), якщо прийняти, що кут β дорівнює куту α:

Формули подвійного кута
\ Operatorname {sin} 2 \ alpha = 2 {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} (23)
\ Operatorname {cos} 2 \ alpha = {\ cos ^ 2 \ alpha} - {\ sin ^ 2 \ alpha}
\ Operatorname {cos} 2 \ alpha = 2 {\ cos ^ 2 \ alpha} - 1 = 1 - 2 {\ sin ^ 2 \ alpha}
(24)
\ Operatorname {tg} 2 \ alpha = \ frac {2 \ operatorname {tg} \ alpha} {1 - \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha} (25)
\ Operatorname {ctg} 2 \ alpha = \ frac {\ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha - 1} {2 \ operatorname {ctg} \ alpha}
Примітки

для формули \ Operatorname {tg} 2 \ alpha :

  • \ Alpha \ not = \ frac {\ pi} 4 + \ frac {\ pi} 2 n, n \ in \ mathbb Z
  • \ Alpha \ not = \ frac {\ pi} 2 + \ pi n, n \ in \ mathbb Z

для формули \ Operatorname {ctg} 2 \ alpha : \ Alpha \ not = \ frac {\ pi} 2 + \ pi n, n \ in \ mathbb Z


4. Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
\ Sin 3 \ alpha = 3 \ sin \ alpha - 4 \ sin ^ 3 \ alpha \,
\ Cos 3 \ alpha = 4 \ cos ^ 3 \ alpha - 3 \ cos \ alpha \,
\ Operatorname {tg} 3 \ alpha = \ frac {3 \ operatorname {tg} \ alpha - \ operatorname {tg} ^ 3 \ alpha} {1 - 3 \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha}
\ Operatorname {ctg} 3 \ alpha = \ frac {3 \ operatorname {ctg} \ alpha - \ operatorname {ctg} ^ 3 \ alpha} {1 - 3 \ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha}
Примітки

для формули \ Operatorname {tg} 3 \ alpha : \ Alpha \ not = \ frac {\ pi} 6 + \ frac {\ pi} 3 n, n \ in \ mathbb Z
для формули \ Operatorname {ctg} 3 \ alpha : \ Alpha \ not = \ frac {\ pi} 3 n + \ pi n, n \ in \ mathbb Z ;


5. Формули зниження ступеня

Формули зниження ступеня виводяться з формул (24):

Синус Косинус Твір
\ Sin ^ 2 \ alpha = \ frac {1 - \ cos 2 \ alpha} {2} (26) \ Cos ^ 2 \ alpha = \ frac {1 + \ cos 2 \ alpha} {2} (27) \ Sin ^ 2 \ alpha \ cos ^ 2 \ alpha = \ frac {1 - \ cos 4 \ alpha} {8}
\ Sin ^ 3 \ alpha = \ frac {3 \ sin \ alpha - \ sin 3 \ alpha} {4}\ Cos ^ 3 \ alpha = \ frac {3 \ cos \ alpha + \ cos 3 \ alpha} {4}\ Sin ^ 3 \ alpha \ cos ^ 3 \ alpha = \ frac {3 \ sin 2 \ alpha - \ sin 6 \ alpha} {32}
\ Sin ^ 4 \ alpha = \ frac {3 - 4 \ cos 2 \ alpha + \ cos 4 \ alpha} {8}\ Cos ^ 4 \ alpha = \ frac {3 + 4 \ cos 2 \ alpha + \ cos 4 \ alpha} {8}\ Sin ^ 4 \ alpha \ cos ^ 4 \ alpha = \ frac {3-4 \ cos 4 \ alpha + \ cos 8 \ alpha} {128}
\ Sin ^ 5 \ alpha = \ frac {10 \ sin \ alpha - 5 \ sin 3 \ alpha + \ sin 5 \ alpha} {16}\ Cos ^ 5 \ alpha = \ frac {10 \ cos \ alpha + 5 \ cos 3 \ alpha + \ cos 5 \ alpha} {16}\ Sin ^ 5 \ alpha \ cos ^ 5 \ alpha = \ frac {10 \ sin 2 \ alpha - 5 \ sin 6 \ alpha + \ sin 10 \ alpha} {512}

6. Формули перетворення творів функцій

Формули перетворення творів функцій
\ Sin \ alpha \ sin \ beta = \ frac {\ cos (\ alpha - \ beta) - \ cos (\ alpha + \ beta)} {2} (28)
\ Sin \ alpha \ cos \ beta = \ frac {\ sin (\ alpha + \ beta) + \ sin (\ alpha - \ beta)} {2} (29)
\ Cos \ alpha \ cos \ beta = \ frac {\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta)} {2} (30)
Висновок формул перетворення творів функцій

Формули додавання функцій виводяться з формул додавання аргументів (5), (6) і (7). Наприклад, з формули (5) випливає:

sin (α + β) + sin (α - β) = sin αcos β + cos αsin β + sin αcos β - cos αsin β =
= 2sin αcos β .

Тобто:

\ Sin \ alpha \ cos \ beta = \ frac {\ sin (\ alpha + \ beta) + \ sin (\ alpha - \ beta)} {2} - Формула (29).

Інші формули перетворення творів функцій виводяться аналогічно.


7. Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
\ Sin \ alpha \ pm \ sin \ beta = 2 \ sin \ frac {\ alpha \ pm \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha \ mp \ beta} {2} (31)
\ Cos \ alpha + \ cos \ beta = 2 \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha - \ beta} {2} (32)
\ Cos \ alpha - \ cos \ beta = - 2 \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} (33)
\ Operatorname {tg} \ alpha \ pm \ operatorname {tg} \ beta = \ frac {\ sin (\ alpha \ pm \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} (34)
\ Operatorname {ctg} \ alpha \ pm \ operatorname {ctg} \ beta = \ frac {\ sin (\ beta \ pm \ alpha)} {\ sin \ alpha \ sin \ beta} (35)
Висновок формул перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій виводяться з формул перетворення творів функцій (28), (29), (30) і (31) за допомогою підстановки:

\ Alpha = \ frac {\ alpha + \ beta} {2}

і

\ Beta = \ frac {\ alpha - \ beta} {2} .

Підставимо ці вирази у формулу (28):

\ Sin (\ frac {\ alpha + \ beta} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha - \ beta} {2}) = \ frac {\ cos \ beta - \ cos \ alpha} {2} , Тобто
\ Cos \ alpha - \ cos \ beta = - 2 \ sin (\ frac {\ alpha + \ beta} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha - \ beta} {2}) - Формула (33).

Інші формули перетворення суми синуса і косинуса виводяться аналогічно. З формули (7) випливає:

\ Operatorname {tg} \ alpha + \ operatorname {tg} \ beta = \ operatorname {tg} (\ alpha + \ beta) (1 - \ operatorname {tg} (\ alpha) \ operatorname {tg} (\ beta)) =
= \ Frac {\ sin (\ alpha + \ beta)} {\ cos (\ alpha + \ beta)} \ cdot \ frac {\ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}
= \ Frac {\ sin (\ alpha + \ beta)} {\ cos (\ alpha + \ beta)} \ cdot \ frac {\ cos (\ alpha + \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} , Тобто
\ Operatorname {tg} \ alpha \ pm \ operatorname {tg} \ beta = \ frac {\ sin (\ alpha \ pm \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} \ qquad \ qquad - Формула (34).

Перетворення суми синусів 3-x різних кутів у твір при: \ Alpha \ + \ beta \ + \ gamma \ = 180 ^ \ circ :

\ Sin 2 \ alpha + \ sin 2 \ beta + \ sin 2 \ gamma = 4 \ sin \ alpha \ \ sin \ beta \ \ sin \ gamma

8. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь

  • sin x = a.
Якщо | A |> 1 - Речових рішень немає.
Якщо | A | \ leqslant 1 - Рішенням є число виду x = (-1) ^ n \ arcsin a + \ pi n; \ n \ in \ mathbb Z.
  • cos x = a .
Якщо | A |> 1 - Рішень немає.
Якщо | A | \ leqslant 1 - Рішенням є число виду x = \ pm \ arccos a + 2 \ pi n; \ n \ in \ mathbb Z.
  • \ Operatorname {tg} \, x = a.
Рішенням є число виду x = \ operatorname {arctg} \, a + \ pi n; \ n \ in \ mathbb Z.
  • \ Operatorname {ctg} \, x = a.
Рішенням є число виду x = \ operatorname {arcctg} \, a + \ pi n; \ n \ in \ mathbb Z.

9. Універсальна тригонометрична підстановка

Тотожності мають сенс, тільки коли існують обидві частини (тобто при \ Alpha \ neq \ pi +2 \ pi n ).

  • \ Sin \ alpha = \ frac {2 \, {\ operatorname {tg}} \, \ frac {\ alpha} {2}} {1 + \ operatorname {tg} ^ {2} \ frac {\ alpha} {2 }}
  • \ Cos \ alpha = \ frac {1 - \ operatorname {tg} ^ {2} \ frac {\ alpha} {2}} {1 + \ operatorname {tg} ^ {2} \ frac {\ alpha} {2} }
  • \ Operatorname {tg} \, \ alpha = \ frac {2 \, {\ operatorname {tg}} \, \ frac {\ alpha} {2}} {1 - \ operatorname {tg} ^ {2} \ frac { \ alpha} {2}}

10. Допоміжний аргумент (метод Юніса)

a \ sin x \ pm b \ cos x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ sin (x \ pm \ arcsin {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} )

a \ cos x \ pm b \ sin x = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ cos (x \ mp \ arccos {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} )

11. Подання тригонометричних функцій в комплексній формі

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа x виконано наступне рівність:

~ E ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,

де e - основа натурального логарифма,

i - уявна одиниця.

За допомогою формули Ейлера можна визначити функції sin x і cos x наступним чином:

\ Sin x = \ frac {e ^ {ix}-e ^ {-ix}} {2i} ,
\ Cos x = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} .

Звідки:

\ Operatorname {tg} \, x = \ frac {i (e ^ {-ix}-e ^ {ix})} {e ^ {ix} + e ^ {-ix}}
\ Operatorname {ctg} \, x = \ frac {i (e ^ {ix} + e ^ {-ix})} {e ^ {ix}-e ^ {-ix}}


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Закон тотожності
Принцип тотожності
Тригонометричні функції
Зворотні тригонометричні функції
Рідко використовувані тригонометричні функції
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru