Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тригонометричні функції



План:


Введення

Рис. 1
Графіки тригонометричних функцій: синуса , косинуса , тангенса , котангенс , секансу , косеканс

Тригонометричні функції - елементарні функції, які історично виникли при розгляді прямокутних трикутників і висловлювали залежності сторін цих трикутників від гострих кутів при гіпотенузі (або, що еквівалентно, залежність хорд і висот від центрального кута в колі). Ці функції знайшли найширше застосування в самих різних областях науки. Згодом визначення тригонометричних функцій було розширено, їх аргументом тепер може бути довільне речовий або навіть комплексне число. Наука, що вивчає властивості тригонометричних функцій, називається тригонометрією.

До тригонометричним функцій відносяться:

прямі тригонометричні функції
  • синус ( sin x ),
  • косинус ( cos x );
похідні тригонометричні функції
  • тангенс ( tg x ),
  • котангенс ( ctg x ).
інші тригонометричні функції
  • секанс ( sec x )
  • косеканс ( cosec x );

У західній літературі тангенс, котангенс і косеканс позначаються tan x, cot x, csc x .

Крім цих шести, існують також деякі рідко використовуються тригонометричні функції (версінус і т.д.), а також зворотні тригонометричні функції ( арксинус, арккосинус і т. д.), що розглядаються в окремих статтях.

Синус і косинус речового аргументу є періодичними безперервними і необмежено диференційовними вещественнозначнимі функціями. Інші чотири функції на речовій осі також вещественнозначние, періодичні і необмежено диференціюються на області визначення, але не безперервні. Тангенс і секанс мають розриви другого роду в точках π n + π / 2 , А котангенс і косеканс - в точках π n .


1. Способи визначення

1.1. Геометричне визначення

Рис. 2
Визначення тригонометричних функцій

Зазвичай тригонометричні функції визначаються геометрично. Нехай нам дана декартова система координат на площині, і побудована коло радіуса R з центром в початку координат O . Виміряємо кути як повороти від позитивного напрямку осі абсцис до променя OB . Напрямок проти годинникової стрілки вважається позитивним, за годинниковою стрілкою негативним. Абсциссу точки В позначимо x B , Ординату позначимо y B (Див. малюнок).

  • Синусом називається відношення \ Sin \ alpha = \ frac {y_B} {R}.
  • Косинусом називається відношення \ Cos \ alpha = \ frac {x_B} {R}.
  • Тангенс визначається як \ Operatorname {tg} \, \ alpha = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} = \ frac {y_B} {x_B}.
  • Котангенс визначається як \ Operatorname {ctg} \, \ alpha = \ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha} = \ frac {x_B} {y_B}.
  • Секанс визначається як \ Sec \ alpha = \ frac {1} {\ cos \ alpha} = \ frac {R} {x_B}.
  • Косеканс визначається як \ Operatorname {cosec} \, \ alpha = \ frac {1} {\ sin \ alpha} = \ frac {R} {y_B}.
Рис. 3
Чисельні значення тригонометричних функцій кута α в тригонометричної кола з радіусом, рівним одиниці

Ясно, що значення тригонометричних функцій не залежать від величини радіусу кола R в силу властивостей подібних фігур. Часто цей радіус приймають рівним величині одиничного відрізка, тоді синус дорівнює просто ординате y B , А косинус - абсциссе x B . На малюнку 3 показані величини тригонометричних функцій для одиничної окружності.

Якщо α - дійсне число, то синусом α в математичному аналізі називається синус кута, Радіанна міра якого дорівнює α , Аналогічно для інших тригонометричних функцій.



1.1.1. Визначення тригонометричних функцій для гострих кутів

Рис. 4
Тригонометричні функції гострого кута

У багатьох підручниках елементарної геометрії до теперішнього часу тригонометричні функції гострого кута визначаються як відносини сторін прямокутного трикутника. Нехай OAB - Трикутник з кутом α . Тоді:

  • Синусом кута α називається відношення AB / OB (Відношення протилежного катета до гіпотенузі).
  • Косинусом кута α називається відношення ОА / OB (Відношення прилеглого катета до гіпотенузі).
  • Тангенсом кута α називається відношення AB / OA (Відношення протилежного катета до прилежащем).
  • Котангенс кута α називається відношення ОА / AB (Відношення прилеглого катета до протилежного).
  • Секансу кута α називається відношення ОB / OA (Відношення гіпотенузи до прилежащем катету).
  • Косеканс кута α називається відношення ОB / AB (Відношення гіпотенузи до протилежного катета).

Побудувавши систему координат з початком в точці O , Напрямком осі абсцис уздовж OA і в разі необхідності змінивши орієнтацію (перевернувши) трикутник так, щоб він знаходився в першій чверті системи координат, і потім, побудувавши коло з радіусом, рівним гіпотенузі, відразу знаходимо, що таке визначення функцій призводить до того ж результату, що і попереднє.

Дане визначення має деякий педагогічне перевагу, так як не вимагає введення поняття системи координат, але також і такий великий недолік, що неможливо визначити тригонометричні функції навіть для тупих кутів, які необхідно знати при вирішенні елементарних задач про тупоугольние трикутники (див.: Теорема синусів, Теорема косинусів).


1.2. Визначення тригонометричних функцій як рішень диференціальних рівнянь

Опції косинус і синус можна визначити як парне (косинус) і непарне (синус) рішення диференціального рівняння

\ Frac {d ^ 2} {d \ varphi ^ 2} R (\ varphi) = - R (\ varphi),

з початковими умовами \ Cos \ left (0 \ right) = \ sin '\ left (0 \ right) = 1 , Тобто як функцій однієї змінної, друга похідна яких дорівнює самої функції, взятої зі знаком мінус:

\ \ Left (\ cos x \ right)''= - \ cos x,
\ \ Left (\ sin x \ right)''= - \ sin x.

1.3. Визначення тригонометричних функцій як рішень функціональних рівнянь

Опції косинус і синус можна визначити як безперервні рішення ( f і g відповідно) системи функціональних рівнянь :

\ Left \ {\ begin {array} {rcl} f (x + y) & = & f (x) f (y)-g (x) g (y) \ \ g (x + y) & = & g (x ) f (y) + f (x) g (y) \ end {array} \ right.


1.4. Визначення тригонометричних функцій через ряди

Використовуючи геометрію і властивості меж, можна довести, що похідна синуса дорівнює косинусу і що похідна косинуса дорівнює мінус синусу. Тоді можна скористатися теорією рядів Тейлора і представити синус і косинус у вигляді суми статечних рядів:

\ Sin x = x-\ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {7!} + \ Frac {x ^ 9} { 9!} - \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ nx ^ {2n +1}} {(2n +1)!},
\ Cos x = 1 - \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} - \ Frac {x ^ 6} {6!} + \ Frac {x ^ 8} { 8!} - \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ nx ^ {2n}} {(2n)!}.

Користуючись цими формулами, а також рівняннями \ Operatorname {tg} \, x = \ frac {\ sin x} {\ cos x},\ Operatorname {ctg} \, x = \ frac {\ cos x} {\ sin x},\ Sec x = \ frac {1} {\ cos x} і \ Operatorname {cosec} \, x = \ frac {1} {\ sin x}, можна знайти розкладання в ряд Тейлора та інших тригонометричних функцій:

{\ Operatorname {tg} \, x = x + \ frac {1} {3} \, x ^ 3 + \ frac {2} {15} \, x ^ 5 + \ frac {17} {315} \, x ^ 7 + \ frac {62} {2835} \, x ^ 9 + \ cdots = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) | B_ { 2n }|}{( 2n)!} x ^ {2n-1} \ quad \ left (- \ frac {\ pi} {2} <x <\ frac {\ pi} {2} \ right),}
{\ Operatorname {ctg} \, x = \ frac {1} {x} - \ frac {x} {3} - \ frac {x ^ 3} {45} - \ frac {2x ^ 5} {945} - \ frac {x ^ 7} {4725} - \ cdots = \ frac {1} {x} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n 2 ^ {2n} | B_ { 2n }|}{( 2n)!} \, x ^ {2n-1} \ quad \ left (- \ pi <x <\ pi \ right),}
{\ Sec x = 1 + \ frac {1} {2} \, x ^ 2 + \ frac {5} {24} \, x ^ 4 + \ frac {61} {720} \, x ^ 6 + \ frac {277} {8064} \, x ^ 8 + \ cdots = 1 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {E_ {n}} {(2n)!} \, x ^ {2n}, \ quad \ left (- \ frac {\ pi} {2} <x <\ frac {\ pi} {2} \ right),}
\ Csc x = \ frac {1} {x} + \ frac {1} {6} \, x + \ frac {7} {360} \, x ^ 3 + \ frac {31} {15120} \, x ^ 5 + \ frac {127} {604800} \, x ^ 7 + \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n +1} 2 (2 ^ {2n- 1} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}

де

B n - числа Бернуллі,
E n - числа Ейлера.

2. Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

Значення синуса, косинуса, тангенса, котангенс, секансу і косеканс для деяких кутів наведені в таблиці. ("N / A" означає, що це значення не визначено).

Значення косинуса і синуса на колі.
\ Alpha \, \! 0 (0 рад) 30 ( π / 6) 45 ( π / 4) 60 ( π / 3) 90 ( π / 2) 180 ( π ) 270 (3 π / 2) 360 (2 π )
\ Sin \ alpha \, \!{0} \, \!\ Frac {1} {2} \, \!\ Frac {\ sqrt {2}} {2} \, \!\ Frac {\ sqrt {3}} {2} \, \!{1} \, \!{0} \, \!{-1} \, \!{0} \, \!
\ Cos \ alpha \, \!{1} \, \!\ Frac {\ sqrt {3}} {2} \, \!\ Frac {\ sqrt {2}} {2} \, \!\ Frac {1} {2} \, \!{0} \, \!{-1} \, \!{0} \, \!{1} \, \!
\ Mathop {\ mathrm {tg}} \, \ alpha \, \!{0} \, \!\ Frac {\ sqrt {3}} {3} \, \!{1} \, \!\ Sqrt {3} \, \! N / A {0} \, \! N / A {0} \, \!
\ Mathop {\ mathrm {ctg}} \, \ alpha \, \! N / A \ Sqrt {3} \, \!{1} \, \!\ Frac {\ sqrt {3}} {3} \, \!{0} \, \! N / A {0} \, \! N / A
\ Sec \ alpha \, \!{1} \, \!\ Frac {2 \ sqrt {3}} {3} \, \!\ Sqrt {2} \, \!{2} \, \! N / A {-1} \, \! N / A {1} \, \!
\ Operatorname {cosec} \, \ alpha \, \! N / A {2} \, \!\ Sqrt {2} \, \!\ Frac {2 \ sqrt {3}} {3} \, \!{1} \, \! N / A {-1} \, \! N / A



2.1. Значення тригонометричних функцій нестандартних кутів

\ Alpha \,\ Frac {\ pi} {12} = 15 ^ \ circ\ Frac {\ pi} {10} = 18 ^ \ circ\ Frac {\ pi} {8} = 22 {{,}} 5 ^ \ circ\ Frac {\ pi} {5} = 36 ^ \ circ\ Frac {3 \, \ pi} {10} = 54 ^ \ circ\ Frac {3 \, \ pi} {8} = 67 {{,}} 5 ^ \ circ\ Frac {2 \, \ pi} {5} = 72 ^ \ circ\ Frac {5 \, \ pi} {12} = 75 ^ \ circ
\ Sin \ alpha \,\ Frac {\ sqrt {3} -1} {2 \, \ sqrt {2}}\ Frac {\ sqrt {5} -1} {4}\ Frac {\ sqrt {2 - \ sqrt {2}}} {2}\ Frac {\ sqrt {5 - \ sqrt {5}}} {2 \, \ sqrt {2}}\ Frac {\ sqrt {5} +1} {4}\ Frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2}}} {2}\ Frac {\ sqrt {5 + \ sqrt {5}}} {2 \, \ sqrt {2}}\ Frac {\ sqrt {3} +1} {2 \, \ sqrt {2}}
\ Cos \ alpha \,\ Frac {\ sqrt {3} +1} {2 \, \ sqrt {2}}\ Frac {\ sqrt {5 + \ sqrt {5}}} {2 \, \ sqrt {2}}\ Frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2}}} {2}\ Frac {\ sqrt {5} +1} {4}\ Frac {\ sqrt {5 - \ sqrt {5}}} {2 \, \ sqrt {2}}\ Frac {\ sqrt {2 - \ sqrt {2}}} {2}\ Frac {\ sqrt {5} -1} {4}\ Frac {\ sqrt {3} -1} {2 \, \ sqrt {2}}
\ Operatorname {tg} \, \ alpha2 - \ sqrt {3}\ Sqrt {1 - \ frac {2} {\ sqrt {5}}}\ Sqrt {2} -1\ Sqrt {5-2 \, \ sqrt {5}}\ Sqrt {1 + \ frac {2} {\ sqrt {5}}}\ Sqrt {2} +1\ Sqrt {5 +2 \, \ sqrt {5}}2 + \ sqrt {3}
\ Operatorname {ctg} \, \ alpha2 + \ sqrt {3}\ Sqrt {5 +2 \, \ sqrt {5}}\ Sqrt {2} +1\ Sqrt {1 + \ frac {2} {\ sqrt {5}}}\ Sqrt {5-2 \, \ sqrt {5}}\ Sqrt {2} -1\ Sqrt {1 - \ frac {2} {\ sqrt {5}}}2 - \ sqrt {3}

\ Sin \ frac {\ pi} {60} = \ cos \ frac {29 \, \ pi} {60} = \ sin 3 ^ \ circ = \ cos 87 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2} ( \ sqrt {3} +1) (\ sqrt {5} -1) -2 (\ sqrt {3} -1) \ sqrt {5 + \ sqrt {5}}} {16},

\ Cos \ frac {\ pi} {60} = \ sin \ frac {29 \, \ pi} {60} = \ cos 3 ^ \ circ = \ sin 87 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2} ( \ sqrt {3} -1) (\ sqrt {5} -1) +2 (\ sqrt {3} +1) \ sqrt {5 + \ sqrt {5}}} {16},

\ Operatorname {tg} \ frac {\ pi} {60} = \ operatorname {ctg} \ frac {29 \, \ pi} {60} = \ operatorname {tg} 3 ^ \ circ = \ operatorname {ctg} 87 ^ \ circ = \ frac {2 + \ sqrt {3} - \ sqrt {5 +2 \ sqrt {5 }}}{( 2 + \ sqrt {3}) \ sqrt {5 +2 \ sqrt {5}} + 1},

\ Operatorname {ctg} \ frac {\ pi} {60} = \ operatorname {tg} \ frac {29 \, \ pi} {60} = \ operatorname {ctg} 3 ^ \ circ = \ operatorname {tg} 87 ^ \ circ = \ frac {(2 + \ sqrt {3}) \ sqrt {5 +2 \ sqrt {5}} +1} {2 + \ sqrt {3} - \ sqrt {5 +2 \ sqrt {5} }},

\ Sin \ frac {\ pi} {30} = \ cos \ frac {7 \, \ pi} {15} = \ sin 6 ^ \ circ = \ cos 84 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {6 (5 - \ sqrt {5})} - \ sqrt {5} -1} {8},

\ Cos \ frac {\ pi} {30} = \ sin \ frac {7 \, \ pi} {15} = \ cos 6 ^ \ circ = \ sin 84 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 (5 - \ sqrt {5})} + \ sqrt {3} (\ sqrt {5} +1)} {8},

\ Operatorname {tg} \ frac {\ pi} {30} = \ operatorname {ctg} \ frac {7 \, \ pi} {15} = \ operatorname {tg} 6 ^ \ circ = \ operatorname {ctg} 84 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 (5 - \ sqrt {5})} - \ sqrt {3} (\ sqrt {5} -1)} {2},

\ Operatorname {ctg} \ frac {\ pi} {30} = \ operatorname {tg} \ frac {7 \, \ pi} {15} = \ operatorname {ctg} 6 ^ \ circ = \ operatorname {tg} 84 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 (25 +11 \ sqrt {5})} + \ sqrt {3} (\ sqrt {5} +3)} {2},

\ Sin \ frac {\ pi} {15} = \ cos \ frac {13 \, \ pi} {30} = \ sin 12 ^ \ circ = \ cos 78 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 (5 + \ sqrt {5})} - \ sqrt {3} (\ sqrt {5} -1)} {8},

\ Cos \ frac {\ pi} {15} = \ sin \ frac {13 \, \ pi} {30} = \ cos 12 ^ \ circ = \ sin 78 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {6 (5 + \ sqrt {5})} + \ sqrt {5} -1} {8},

\ Operatorname {tg} \ frac {\ pi} {120} = \ operatorname {ctg} \ frac {59 \, \ pi} {120} = \ operatorname {tg} 1.5 ^ \ circ = \ operatorname {ctg} 88.5 ^ \ circ = \ sqrt {\ frac {8 - \ sqrt {2 (2 - \ sqrt {3}) (3 - \ sqrt {5})} - \ sqrt {2 (2 + \ sqrt {3}) (5 + \ sqrt {5 })}}{ 8 + \ sqrt {2 (2 - \ sqrt {3}) (3 - \ sqrt {5})} + \ sqrt {2 (2 + \ sqrt {3}) ( 5 + \ sqrt {5})}}},

\ Cos \ frac {\ pi} {240} = \ sin \ frac {119 \, \ pi} {240} = \ cos 0.75 ^ \ circ = \ sin 89.25 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 - \ sqrt {2 + \ sqrt {2}}} \ left (\ sqrt {2 (5 + \ sqrt {5})} + \ sqrt {3} (1 - \ sqrt {5}) \ right) + \ sqrt { 2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2}}} \ left (\ sqrt {6 (5 + \ sqrt {5})} + \ sqrt {5} - 1 \ right)} {16},

\ Cos \ frac {\ pi} {17} = \ sin \ frac {15 \, \ pi} {34} = \ frac {1} {8} \ sqrt {2 \ left (2 \ sqrt {\ sqrt {\ frac {17 (17 - \ sqrt {17})} {2}} - \ sqrt {\ frac {17 - \ sqrt {17}} {2}} -4 \ sqrt {2 (17 + \ sqrt {17} )} + 3 \ sqrt {17} +17} + \ sqrt {2 (17 - \ sqrt {17})} + \ sqrt {17} +15 \ right)}.


3. Властивості тригонометричних функцій

3.1. Найпростіші тотожності

Оскільки синус і косинус є відповідно ординатою і абсцисою точки, що відповідає на одиничному колі куті α , То, згідно з рівнянням одиничної окружності або теоремі Піфагора, маємо:

\ Sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = 1. \,

Це співвідношення називається основним тригонометричним тотожністю.

Ділячи це рівняння на квадрат косинуса і синуса відповідно маємо далі:

1 + \ mathop {\ mathrm {tg}} \, ^ 2 \ alpha = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ alpha}, \,
1 + \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, ^ 2 \ alpha = \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ alpha}, \,
\ Mathop {\ mathrm {tg}} \, \ alpha \ cdot \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, \ alpha = 1.

3.2. Безперервність

Синус і косинус - безперервні функції. Тангенс і секанс мають точки розриву \ Pm \ frac {\ pi} {2}, \; \ pm \ frac {3 \ pi} {2}, \; \ pm \ frac {5 \ pi} {2}, \; \ dots; котангенс і косеканс - 0, \; \ pm \ pi, \; \ pm2 \ pi, \; \ dots.

3.3. Парність

Косинус і секанс - парні. Інші чотири функції - непарні, тобто:

\ Sin \ left (- \ alpha \ right) = - \ sin \ alpha \,,
\ Cos \ left (- \ alpha \ right) = \ cos \ alpha \,,
\ Mathop {\ mathrm {tg}} \, \ left (- \ alpha \ right) = - \ mathop {\ mathrm {tg}} \, \ alpha \,,
\ Mathop {\ mathrm {ctg}} \, \ left (- \ alpha \ right) = - \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, \ alpha \,,
\ Sec \ left (- \ alpha \ right) = \ sec \ alpha \,,
\ Mathop {\ mathrm {cosec}} \, \ left (- \ alpha \ right) = - \ mathop {\ mathrm {cosec}} \, \ alpha \,.

3.4. Періодичність

Опції y = \ mathop {\ mathrm {sin}} \, x, \ quad y = \ mathop {\ mathrm {cos}} \, x, \ quad y = \ mathop {\ mathrm {sec}} \, x, \ quad y = \ mathop {\ mathrm {cosec}} \, x - періодичні з періодом , Функції y = \ mathop {\ mathrm {tg}} \, x і y = \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, x - C періодом π .


3.5. Формули приведення

Формулами приведення називаються формули такого вигляду:

f (n \ pi + \ alpha) = \ pm f (\ alpha), \,
f (n \ pi - \ alpha) = \ pm f (\ alpha), \,
f \ left (\ frac {(2n +1) \ pi} {2} + \ alpha \ right) = \ pm g (\ alpha), \,
f \ left (\ frac {(2n +1) \ pi} {2} - \ alpha \ right) = \ pm g (\ alpha). \,

Тут f - Будь-яка тригонометрическая функція, g - Відповідна їй кофункція (тобто косинус для синуса, синус для косинуса і аналогічно для інших функцій), n - ціле число. Перед отриманої функцією ставиться той знак, який має початкова функція в заданій координатної чверті за умови, що кут α гострий, наприклад:

\ Cos \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ alpha \ right) = \ sin \ alpha \,,

Деякі формули приведення:

\ Beta \,\ Frac {\ pi} {2} + \ alpha\ Pi + \ alpha \,\ Frac {3 \, \ pi} {2} + \ alpha\ Frac {\ pi} {2} - \ alpha\ Pi - \ alpha \,\ Frac {3 \, \ pi} {2} - \ alpha2 \, \ pi - \ alpha
\ Sin \ beta \,\ Cos \ alpha \,- \ Sin \ alpha \,- \ Cos \ alpha \,\ Cos \ alpha \,\ Sin \ alpha \,- \ Cos \ alpha \,- \ Sin \ alpha \,
\ Cos \ beta \,- \ Sin \ alpha \,- \ Cos \ alpha \,\ Sin \ alpha \,\ Sin \ alpha \,- \ Cos \ alpha \,- \ Sin \ alpha \,\ Cos \ alpha \,
\ Operatorname {tg} \, \ beta- \ Operatorname {ctg} \, \ alpha\ Operatorname {tg} \, \ alpha- \ Operatorname {ctg} \, \ alpha\ Operatorname {ctg} \, \ alpha- \ Operatorname {tg} \, \ alpha\ Operatorname {ctg} \, \ alpha- \ Operatorname {tg} \, \ alpha
\ Operatorname {ctg} \, \ beta- \ Operatorname {tg} \, \ alpha\ Operatorname {ctg} \, \ alpha- \ Operatorname {tg} \, \ alpha\ Operatorname {tg} \, \ alpha- \ Operatorname {ctg} \, \ alpha\ Operatorname {tg} \, \ alpha- \ Operatorname {ctg} \, \ alpha

3.6. Формули додавання

Значення тригонометричних функцій суми і різниці двох кутів:

\ Sin \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ sin \ alpha \, \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \, \ sin \ beta,
\ Cos \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ cos \ alpha \, \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \, \ sin \ beta,
\ Operatorname {tg} \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ frac {\ operatorname {tg} \, \ alpha \ pm \ operatorname {tg} \, \ beta} {1 \ mp \ operatorname {tg } \, \ alpha \, \ operatorname {tg} \, \ beta},
\ Operatorname {ctg} \ left (\ alpha \ pm \ beta \ right) = \ frac {\ operatorname {ctg} \, \ alpha \, \ operatorname {ctg} \, \ beta \ mp 1} {\ operatorname {ctg } \, \ beta \ pm \ operatorname {ctg} \, \ alpha}.

Аналогічні формули для суми трьох кутів:

\ Sin \ left (\ alpha + \ beta + \ gamma \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma - \ sin \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma,
\ Cos \ left (\ alpha + \ beta + \ gamma \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma - \ sin \ alpha \ sin \ beta \ cos \ gamma - \ sin \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma - \ cos \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma.

3.7. Формули для кратних кутів

Формули подвійного кута:

\ Sin 2 \ alpha = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha = \ frac {2 \, \ operatorname {tg} \, \ alpha} {1 + \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha} = \ frac {2 \, \ operatorname {ctg} \, \ alpha} {1 + \ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha} = \ frac {2} {\ operatorname {tg} \, \ alpha + \ operatorname {ctg} \, \ alpha},
\ Cos 2 \ alpha = \ cos ^ 2 \ alpha \, - \, \ sin ^ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ alpha \, - \, 1 = 1 \, - \, 2 \ sin ^ 2 \ alpha = \ frac {1 - \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha} {1 + \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha} = \ frac {\ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha - 1} {\ operatorname { ctg} ^ 2 \ alpha + 1} = \ frac {\ operatorname {ctg} \, \ alpha - \ operatorname {tg} \, \ alpha} {\ operatorname {ctg} \, \ alpha + \ operatorname {tg} \ , \ alpha},
\ Operatorname {tg} \, 2 \ alpha = \ frac {2 \, \ operatorname {tg} \, \ alpha} {1 - \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha} = \ frac {2 \, \ operatorname { ctg} \, \ alpha} {\ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha - 1} = \ frac {2} {\ operatorname {ctg} \, \ alpha - \ operatorname {tg} \, \ alpha},
\ Operatorname {ctg} \, 2 \ alpha = \ frac {\ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha - 1} {2 \, \ operatorname {ctg} \, \ alpha} = \ frac {\ operatorname {ctg} \ , \ alpha - \ operatorname {tg} \, \ alpha} {2}.

Формули потрійного кута:

\ Sin \, 3 \ alpha = 3 \ sin \ alpha - 4 \ sin ^ 3 \ alpha,
\ Cos \, 3 \ alpha = 4 \ cos ^ 3 \ alpha -3 \ cos \ alpha,
\ Operatorname {tg} \, 3 \ alpha = \ frac {3 \, \ operatorname {tg} \, \ alpha - \ operatorname {tg} ^ 3 \, \ alpha} {1 - 3 \, \ operatorname {tg} ^ 2 \, \ alpha},
\ Operatorname {ctg} \, 3 \ alpha = \ frac {\ operatorname {ctg} ^ 3 \, \ alpha - 3 \, \ operatorname {ctg} \, \ alpha} {3 \, \ operatorname {ctg} ^ 2 \, \ alpha - 1}.

Інші формули для кратних кутів:

\ Sin \, 4 \ alpha = \ cos \ alpha \ left (4 \ sin \ alpha - 8 \ sin ^ 3 \ alpha \ right),
\ Cos \, 4 \ alpha = 8 \ cos ^ 4 \ alpha - 8 \ cos ^ 2 \ alpha + 1,
\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции

Формулы половинного угла:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.

3.8. Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},
\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.


3.9. Степени

\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2},\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2},\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha},
\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},
\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},
\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},
\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.

3.10. Суммы

\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}
\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .

Для функций от аргумента x существует представление:

A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),

где угол ϕ находится из соотношений:

\sin \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

3.11. Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}


4. Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

( \sin x )' = \cos x \,,

( \cos x )' = -\sin x \,,

( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},

( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},

( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},

( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,

\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,

\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,

\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,

\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,

\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.


5. Тригонометрические функции комплексного аргумента

5.1. Визначення

Формула Эйлера :

e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i};
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z;
\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};
\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};
\sec z = \frac{1}{\cos x} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};
\ Operatorname {cosec} \, z = \ frac {1} {\ sin x} = \ frac {2i} {e ^ {iz} - e ^ {-iz}}, \, де i ^ 2 =- 1. \,


Відповідно, для речового x,

\ Cos x = \ operatorname {Re} (e ^ {i x}), \,
\ Sin x = \ operatorname {Im} (e ^ {i x}). \,

Комплексні синус і косинус тісно пов'язані з гіперболічними функціями :

\ Sin (x + iy) = \ sin x \, \ operatorname {ch} \, y + i \ cos x \, \ operatorname {sh} \, y, \,
\ Cos (x + iy) = \ cos x \, \ operatorname {ch} \, y - i \ sin x \, \ operatorname {sh} \, y. \,

Більшість перерахованих вище властивостей тригонометричних функцій зберігаються і в комплексному випадку. Деякі додаткові властивості:

  • комплексні синус і косинус, на відміну від речових, можуть брати як завгодно великі по модулю значення;
  • всі нулі комплексних синуса і косинуса лежать на речовій осі.

5.2. Комплексні графіки

На наступних графіках зображена комплексна площина, а значення функцій виділені кольором. Яскравість відображає абсолютне значення (чорний - нуль). Колір змінюється від аргументу і кута згідно мапі.

Тригонометричні функції в комплексній площині
Complex sin.jpg
Complex cos.jpg
Complex tan.jpg
Complex Cot.jpg
Complex Sec.jpg
Complex Csc.jpg
\ Sin \, z \,\ Cos \, z \,\ Operatorname {tg} \, z \,\ Operatorname {ctg} \, z \,\ Sec \, z \,\ Operatorname {cosec} \, z \,

6. Історія назв

Лінія синуса у індійських математиків спочатку називалася "Архан-джива" ("полутетіва", тобто половина хорди), потім слово "Архан" було відкинуто і лінію синуса стали називати просто "Джива". Арабські перекладачі не перевели слово "Джива" арабським словом "Ватару", що позначає тятиву і хорду, а транскрибували арабськими літерами і стали називати лінію синуса "Джибо". Так як в арабською мовою короткі голосні не позначаються, а довгий "і" в слові "Джибо" позначається так само, як півголосних "й", араби стали вимовляти назву лінії синуса "джайб", що буквально означає "западина", "пазуха". При перекладі арабських творів на латинь європейські перекладачі перевели слово "джайб" латинським словом sinus, які мають те ж значення.

Сучасні короткі позначення sin і cos введені Вільямом Отредом і закріплені в працях Ейлера.

Терміни "тангенс" (від лат. tangens - Що стосується) і "секанс" ( лат. secans - Січний) були введені датським математиком Томасом Фінке (1561-1656) в його книзі "Геометрія круглого" (Geometria rotundi, 1583)

Сам термін тригонометричні функції введений Клюгелем в 1770.


Література

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолінійна тригонометрія / / Довідник з математики - Вид. 7-е, стереотипне. - М .: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1967. - С. 179-184.
  • Г. Б. Двайт Тригонометричні функції / / Таблиці інтегралів і інші математичні формули - 4-е изд. - М .: Наука, 1973. - С. 70-102.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Зворотні тригонометричні функції
Рідко використовувані тригонометричні функції
Тригонометричні тотожності
Спеціальні функції
Приріст функції
Гессіан функції
Елементарні функції
Коливання функції
Функції Бесселя
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru