Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тригонометрія



План:


Введення

Тригонометрія (від греч. τρίγονο ( трикутник) і греч. μετρειν (Вимірювати), тобто вимірювання трикутників) - розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії [1]. Цей термін вперше з'явився в 1595 р. як назва книги німецького математика Бартоломеус Пітіскуса (Bartholomus Pitiscus, 1561-1613), а сама наука ще в глибоку давнину використовувалася для розрахунків в астрономії, геодезії та архітектури.

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики і інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірочок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія і геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

У Школі СРСР мала статус навчального предмета


1. Визначення тригонометричних функцій

Тригонометричні функції кута θ всередині одиничному колі

Спочатку тригонометричні функції були пов'язані з співвідношеннями сторін у прямокутному трикутнику. Їхнім єдиним аргументом є кут (один з гострих кутів цього трикутника).

  • Синус - відношення протилежного катета до гіпотенузі.
  • Косинус - відношення прилеглого катета до гіпотенузі.
  • Тангенс - відношення протилежного катета до прилежащем.
  • Котангенс - відношення прилеглого катета до протилежного.
  • Секанс - відношення гіпотенузи до прилежащем катету.
  • Косеканс - відношення гіпотенузи до протилежного катета.

Дані визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0 до 90 (від 0 до \ Pi \ over 2 радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, більш загальні визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Розглянемо в прямокутній системі координат окружність одиничного радіусу (див. малюнок) і відкладемо від горизонтальної осі кут θ (Якщо величина кута позитивна, то відкладаємо проти годинникової стрілки, інакше за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначимо A. Тоді:

Для гострих кутів нові визначення збігаються з колишніми.

Можливо також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням в нескінченний ряд.


2. Історія

2.1. Стародавня Греція

Давньогрецькі математики в своїх побудовах, пов'язаних з вимірюванням дуг кола, використовували техніку хорд. Перпендикуляр до хорди, опущений з центра кола, ділить навпіл дугу і спирається на неї хорду. Половина поділеної навпіл хорди - це синус половинного кута, і тому функція синус відома також як "половина хорди". Завдяки цій залежності, значне число тригонометричних тотожностей і теорем, відомих сьогодні, були також відомі давньогрецьким математикам, але в еквівалентній хордової формі.

Хоча в роботах Евкліда і Архімеда немає тригонометрії в строгому сенсі цього слова, їх теореми представлені в геометричному вигляді, еквівалентному специфічним тригонометричним формулами. Теорема Архімеда для розподілу хорд еквівалентна формулами для синусів суми і різниці кутів. Для компенсації відсутності таблиці хорд математики часів Аристарха іноді використовували добре відому теорему, в сучасній записи - sin α / sin β <α / β

Перші тригонометричні таблиці були, ймовірно, складено Гиппархом Нікейським (180-125 років до н. е..). Гіппарх був першим, хто звів у таблиці відповідні величини дуг і хорд для серії кутів. Систематичне використання повної окружності в 360 встановилося в основному завдяки Гиппарху і його таблиці хорд. Можливо Гіппарх взяв ідею такого поділу в Гіпсікла, який раніше розділив день на 360 частин, хоча такий поділ дня могли запропонувати і вавілонські астрономи.

Менелай Александрійський (100 н. е..) написав "Сферика" в трьох книгах. У першій книзі він представив основи для сферичних трикутників, аналогічно I книзі "Начал" Евкліда про плоских трикутниках. Він представив теорему, для якої немає аналога у Евкліда, про те, що два сферичних трикутника конгруентний, якщо відповідні кути рівні, але він не робив відмінності між конгруентними і симетричними сферичними трикутниками. Інша його теорема свідчить про те, що сума кутів сферичного трикутника завжди більше 180 . Друга книга "Сферика" застосовує сферичну геометрію до астрономії. Третя книга містить " теорему Менелая ", відому також як" правило шести величин ".

Пізніше Клавдій Птолемей (90 - 168 р. н. е..) в "Альмагест" розширив Гіппархови "Хорди в окружності". Його XIII книга - найбільш значуща тригонометрическая робота всієї античності. Теорема, яка була центральною в обчисленні хорд Птолемея, також відома сьогодні як теорема Птолемея, яка говорить про те, що сума творів протилежних сторін опуклого чотирикутника вписаного дорівнює добутку діагоналей. Окремий випадок теореми Птолемея з'явився як 93 пропозицій "Даних" Евкліда.

Теорема Птолемея тягне за собою еквівалентність чотирьох формул суми і різниці для синуса і косинуса. Пізніше Птолемей вивів формулу половинного кута. Птолемей використав ці результати для створення своїх тригонометричних таблиць, хоча, можливо, ці таблиці були виведені з робіт Гіппарха. Ні таблиці Гіппарха, ні Птолемея не збереглися до теперішнього дня, хоча свідчення інших древніх авторів знімають сумніви про їхнє існування.


2.2. Середньовічна Індія

Інші джерела повідомляють, що саме заміна хорд синусами стала головним досягненням Середньовічної Індії. Така заміна дозволила вводити різні функції, пов'язані із сторонами та кутами прямокутного трикутника. Таким чином, в Індії було покладено початок тригонометрії як вчення про тригонометричних величинах.

Індійські вчені користувалися різними тригонометричними співвідношеннями, в тому числі і тими, які в сучасній формі виражаються як

sin 2 α + cos 2 α = 1

\ Sin \ alpha = \ cos (90 ^ \ circ - \ alpha)

\ Sin (\ alpha \ pm \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta

Індійці також знали формули для кратних кутів sin n , cos n , Де n = 2,3,4,5 .

Тригонометрія необхідна для астрономічних розрахунків, які оформляються у вигляді таблиць. Перша таблиця синусів є у "Сурья-сіддханте" і у Аріабхата. Пізніше вчені склали більш докладні таблиці: наприклад, Бхаскара призводить таблицю синусів через 1 .

Південноіндійських математики в 16 столітті домагалися великих успіхів в області підсумовування нескінченних числових рядів. Мабуть, вони займалися цими дослідженнями, коли шукали способи обчислення більш точних значень числа π. Нікаланта словесно призводить правила розкладання арктангенса в нескінченний степеневий ряд. А в анонімному трактаті "Каранападдхаті" ("Техніка обчислень") дані правила розкладання синуса і косинуса в нескінченні статечні ряди. Потрібно сказати, що в Європі до подібних результатами підійшли лише в 17-18 ст. Так, ряди для синуса і косинуса вивів Ісаак Ньютон близько 1666 р., а ряд арктангенса був знайдений Дж. Грегорі в 1671 р. і Г. В. Лейбніцем в 1673 р.

У 8 в. Вчені країн Близького і Середнього Сходу познайомилися з працями індійських математиків і астрономів і перевели їх на арабську мову. В середині 9 століття середньоазіатський вчений аль-Хорезмі написав твір "Про індійський рахунку". Після того як арабські трактати були перекладені на латинь, багато ідей індійських математиків стали надбанням європейської, а потім і світової науки.


Примітки

  1. Радянський енциклопедичний словник. М.: Радянська енциклопедія, 1982.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сферична тригонометрія
Раціональна тригонометрія
Ексцес (сферична тригонометрія)
Теорема Лежандра (сферична тригонометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru