Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тригранний кут



План:


Введення

Тригранний кут.

Тригранний кут - це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами із загальною вершиною і попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Загальна вершина Про цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут (обмежених третя грань, яка не входить в пару; при потребі природним чином знімається це обмеження, в результаті чого виходять необхідні напівплощини, що утворюють весь двогранний кут без обмеження). Якщо помістити вершину тригранного кута в центр сфери, на її поверхні утворюється обмежений їм сферичний трикутник, сторони якого рівні плоским кутах тригранного кута, а кути - його двогранний кутах.


1. Нерівність трикутника для тригранного кута

Кожен плоский кут тригранного кута менше суми двох інших його плоских кутів.

2. Сума плоских кутів тригранного кута

Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів.

Доказ

Нехай OABC - даний тригранний кут. Розглянемо тригранний кут з вершиною A, утворений гранями ABO, ACO і кутом BAC. Напишемо нерівність:

\ Angle BAC <\ angle BAO + \ angle CAO

Аналогічно, і для решти тригранних кутів з вершинами B і С:

\ Angle ABC <\ angle ABO + \ angle CBO
\ Angle ACB <\ angle ACO + \ angle BCO

Складаючи ці нерівності і враховуючи, що сума кутів трикутника ABC дорівнює 180 , отримуємо

180 <\ angle BAO + \ angle CAO + \ angle ABO + \ angle CBO + \ angle BCO + \ angle ACO = 180 - \ angle AOB + 180 - \ angle BOC + 180 - \ angle AOC

Отже: \ Angle AOB + \ angle BOC + \ angle AOC <360


3. Теорема косинусів для тригранного кута

Перша теорема косинусів для тригранного кута cos α = cos βcos γ + sin βsin γcos A

Друга теорема косинусів для тригранного кута cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos α,
де α, β, γ - плоскі кути, A, B, C - двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β.

Доказ Другий теореми косинусів для тригранного кута

Нехай OABC - даний тригранний кут. Опустимо перпендикуляри з внутрішньої точки тригранного кута на його грані й отримаємо новий тригранний кут полярний (подвійний пристрою). Плоскі кути одного тригранного кута доповнюють двогранні кути іншого і двогранні кути одного кута доповнюють плоскі іншого до 180 градусів. Тобто плоскі кути полярного кута відповідно рівні: 180 - А; 180 - В; 180 - С, а двогранні - 180 - α; 180 - β; 180 - γ

Напишемо першу теорію косинусів для нього

cos (π - A) = cos (π - α) sin (π - B) sin (π - C) + cos (π - B) cos (π - C)

і після спрощень отримуємо:

cos A = cos αsin B sin C - cos B cos C

4. Теорема синусів для тригранного кута

{\ Sin {\ alpha} \ over \ sin A} = {\ sin \ beta \ over \ sin B} = {\ sin \ gamma \ over \ sin C} , Де α, β, γ - плоскі кути тригранного кута; A, B, C - противолежащие їм двогранні кути.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кут
Прямий кут
Кут місця
Валентний кут
Усть-Кут
Подорожній кут
Німецький кут
Червоний кут
Двогранний кут
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru