Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Трикутник



План:


Введення

Трикутник.

Трикутник - найпростіший багатокутник, що має 3 вершини ( кута) і 3 боку, частина площині, обмежена трьома точками, і трьома відрізками, попарно з'єднують ці точки.


1. Властивості та особливості трикутників

Трьом точок простору, не лежачим на одній прямій (і образуемому ними невиродженим трикутнику), обов'язково відповідає одна і тільки одна площину. Це дуже унікально - так як меншій кількості точок відповідають пряма і точка, а вже чотири точки можуть знаходиться поза єдиної площині. [1]

Трикутник - це багатокутник, обмежений мінімально можливою кількістю сторін. Будь багатокутник можна точно розбити на трикутники, лише зв'язавши його вершини відрізками, не перетинають його боку. З деяким наближенням, на трикутники можна розбити поверхню будь-якої форми, як на площині, так і в просторі. Процес розбиття на трикутники називається тріангуляцією.

Трикутник - завжди опуклий багатокутник. Вироджений трикутник, всі три вершини якого лежать на одній прямій або збігаються, зазвичай трикутником не вважається, проте також є опуклим безліччю.

Для трикутника завжди існує одна і тільки одна вписана (щодо трьох сторін) і одна описана (через вершини) коло. Також для трикутника існують три кола, що стосуються одного боку і продовжень двох інших сторін - вневпісанние кола.


2. Позначення

Стандартні позначення

Точки вершин трикутника традиційно позначаються великими латинськими літерами (A, B, C), величини кутів при відповідних вершинах - грецькими літерами (α, β, γ), а довжини протилежних сторін - малими латинськими літерами (a, b, c).

3. Ознаки рівності трикутників

Трикутник на евклідової площини однозначно (з точністю до конгруентності) можна визначити за такими трійкам основних елементів:

  1. a, b, γ (рівність по двох сторонах і куту лежить між ними);
  2. a, β, γ (рівність по стороні і двом прилеглим кутах);
  3. a, b, c (рівність за трьома сторонами).

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

  1. по катету і гіпотенузі;
  2. за двома катетам;
  3. по катету і гострого кута;
  4. по гіпотенузі і гострого кута.

В сферичної геометрії і в геометрії Лобачевського існує ознака рівності трикутників за трьома кутами.


4. Типи трикутників

Типи трикутників
Гострокутний трикутник
Гострокутний
Тупоугольние трикутник
Тупоугольние
Прямокутний трикутник
Прямокутний
Різнобічний трикутник
Різнобічний
Рівнобедрений трикутник
Рівнобедрений
Рівносторонній трикутник
Рівносторонній

4.1. За величиною кутів

сума кутів трикутника дорівнює 180 .

Оскільки в евклідової геометрії сума кутів трикутника дорівнює 180 , то не менше двох кутів в трикутнику мають бути гострими (меншими 90 ). Виділяють такі види трикутників:

  • Якщо всі кути трикутника гострі, то трикутник називається гострокутним;
  • Якщо один з кутів трикутника тупий (більше 90 ), то трикутник називається тупоугольние;
  • Якщо один з кутів трикутника прямий (дорівнює 90 ), то трикутник називається прямокутним. Дві сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, протилежних прямого кута, називається гіпотенузою.

У геометрії Лобачевського сума кутів трикутника завжди менше 180 , а на сфері - завжди більше. Різниця суми кутів трикутника і 180 називається дефектом. Дефект пропорційний площі трикутника, таким чином, у нескінченно малих трикутників на сфері або площині Лобачевського сума кутів буде мало відрізнятися від 180 .


4.2. За кількістю рівних сторін

  • Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. У рівнобедреному трикутнику кути при підставі рівні. Висота, медіана і бісектриса рівнобедреного трикутника, опущені на підставу, збігаються.
  • Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні 60 , а центри вписаною і описаного кіл збігаються.

5. Визначення, пов'язані з трикутником

Усі факти, викладені в цьому розділі, з евклідової геометрії.

5.1. Промені, відрізки і точки

  • Медіаною трикутника, проведеної з цієї вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину з серединою противолежащей сторони (підставою медіани). Всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка перетину називається центроїдів або центром ваги трикутника. Остання назва пов'язана з тим, що у трикутника, зробленого з однорідного матеріалу, центр ваги знаходиться в точці перетину медіан. Центроид ділить кожну медіану щодо 1:2, рахуючи від підстави медіани. Трикутник з вершинами в серединах називається серединним трикутником.
  • Заввишки трикутника, проведеної з цієї вершини, називається перпендикуляр, опущений з цієї вершини на протилежну сторону або її продовження. Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається Ортоцентр трикутника. Трикутник з вершинами у підставах висот називається ортотреугольніком.
  • Бісектрисою трикутника, проведеної з цієї вершини, називають відрізок, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні і ділить кут при даній вершині навпіл. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, і ця точка співпадає з центром вписаного кола (інцентром).
  • Відрізок, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні, називається чевіаной.
  • Середньою лінією трикутника називають відрізок, що з'єднує середини двох сторін цього трикутника.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, медіана і висота, проведені до основи, збігаються. Вірно і зворотне: якщо бісектриса, медіана і висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то трикутник рівнобедрений. Якщо трикутник різнобічний, то для будь-якої його вершини бісектриса, проведена з неї, лежить між медіаною і висотою, проведеними з тієї ж вершини.

Серединні перпендикуляри (медіатрісси) до сторін трикутника також перетинаються в одній точці, яка збігається з центром описаного кола.

Чевіани, що лежать на прямих, симетричних медианами щодо биссектрис, називаються сімедіанамі. Вони проходять через одну точку - точку Лемуана.

Деякі точки в трикутнику - "парні". Наприклад, існує дві точки, з яких всі сторони видно або під кутом в 60 , або під кутом в 120 . Вони називаються точками Торрічеллі. Також існує дві точки, проекції яких на сторони лежать в вершинах правильного трикутника. Це - точки Аполлонія. Точки P і Q такі, що \ Angle ABP = \ angle BCP = \ angle CAP і \ Angle BAP = \ angle CBP = \ angle ACP називаються точками Брокар.


5.2. Прямі

У будь-якому трикутнику центр тяжіння, Ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, званої прямий Ейлера.

Пряма, що проходить через центр описаного кола і точку Лемуана, називається віссю Брокар. На ній лежать точки Аполлонія. Також на одній прямій лежать точки Торрічеллі і крапка Лемуана. Підстави зовнішніх биссектрис кутів трикутника лежать на одній прямій, званої віссю зовнішніх биссектрис. На одній прямій лежать також точки перетину прямих, що містять боку ортотреугольніка, з прямими, що містять сторони трикутника. Ця пряма називається ортоцентрического віссю, вона перпендикулярна прямій Ейлера.

Якщо на описаного кола трикутника взяти точку, то її проекції на сторони трикутника будуть лежати на одній прямій, званої прямий Сімсона даної точки. Прямі Сімсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні.


5.3. Трикутники

  • Трикутник з вершинами у підставах чевіан, проведених через дану точку, називається чевіанним трикутником цієї точки.
  • Трикутник з вершинами в проекціях даної точки на сторони називається подерним або педальним трикутником цієї точки.
  • Трикутник в вершинами у других точках перетину прямих, проведених через вершини і дану точку, з описаною колом, називають окружностно-чевіанним трикутником. Окружностно-чевіанний трикутник подібний подерному.

5.4. Окружності

Середини трьох сторін трикутника, підстави трьох його висот і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з Ортоцентр, лежать на одній окружності, званої окружністю дев'яти точок або колом Ейлера. Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера. Коло дев'яти точок стосується вписаного кола і трьох вневпісанних. Точка дотику вписаного кола та кола дев'яти точок називається точкою Фейєрбаха. Якщо від кожної вершини відкласти назовні трикутника на прямих, що містять боку, ортезкі, рівні по довжині протилежних сторонах, то отримані шість точок лежать на одній окружності - кола Конвея. У будь трикутник можна вписати три кола таким чином, що кожна з них стосується двох сторін трикутника і двох інших кіл. Такі кола називаються колами Мальфатті. Центри описаних окружностей шести трикутників, на які трикутник розбивається медианами, лежать на одній окружності, яка називається колом Ламуна.

У трикутнику є три кола, які стосуються двох сторін трикутника і описаного кола. Такі кола називають полувпісаннимі або колами Веррьера. Відрізки, що сполучають точки дотику кіл Веррьера з описаною окружністю, перетинаються в одній точці, яка називається точкою Веррьера. Вона служить центром гомотетии, яка переводить описану окружність під вписану. Точки дотику кіл Веррьера зі сторонами лежать на прямій, яка проходить через центр вписаного кола.

Відрізки, що сполучають точки дотику вписаного кола з вершинами, перетинаються в одній точці, яка називається точкою Жергонна, а відрізки, що з'єднують вершини з точками дотику вневпісанних кіл - в точці Нагеля.


5.5. Еліпси, параболи і гіперболи

Вписана коника (еліпс) та її перспектор

У трикутник можна вписати нескінченно багато коник ( еліпсів, парабол або гіпербол). Якщо в трикутник вписати коника і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то отримані прямі перетнуться в одній точці, яка називається перспектором коники. Для будь-якої точки площини, не лежить на боці або на її продовженні існує вписана коника з перспектором в цій точці. [2]

Описаний еліпс Штейнера і чевіани, що проходять через його фокуси

У трикутник можна вписати еліпс, який стосується сторін в серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера (його перспектором буде центроид трикутника). [3] Описаний еліпс, який стосується прямих, що проходять через вершини паралельно сторонам, називається описаним еліпсом Штейнера. Якщо аффінним перетворенням ("перекосом") перевести трикутник в правильний, то його вписаний і описаний еліпс Штейнера перейдуть у вписану і описану кола. Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнера (точки Скутіна), рівні (теорема Скутіна). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера. [4]

Эллипс Брокара и его перспектор - точка Лемуана

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана. [5]

Свойства вписанной параболы
Парабола Киперта

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. [6] Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. [7] Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор - четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Гипербола Киперта

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). [8] Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. [8]

  • Гипербола Киперта - описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников). [9]
  • Гипербола Енжабека - описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и точку Лемуана. На ней лежит центр описанной окружности.
  • Гипербола Фейербаха - описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис. [10]

5.6. Перетворення

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и и продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек : центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники - в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция - проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось - трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера - центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке X , лежит на трилинейной поляре точки Y , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке Y лежит на трилинейной поляре точки X ).


5.7. Кубики

Кубика - это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек X , что прямая X X ' проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь X ' - точка, изогонально сопряжённая X ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей. [11]

  • Кубика Дарбу получается, если зафиксировать точку, симметричную ортоцентру относительно центра описанной окружности. Она проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.
  • Кубика Томсона получается, если в качестве фиксированной точки выбрать центроид. Кубика Томсона проходит через центроид, точку Лемуана, ортоцентр, центр описанной окружности, середины сторон и середины высот.
  • Кубика Мак-Кэя получится, если в качестве фиксированной точки взять центр описанной окружности. Она также проходит через ортоцентр и центр описанной окружности.
  • Кубика Нейберга - множество таких точек X , Що XX' \parallel OH - прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония, ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей.

6. Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе ~a , ~b , ~c - это длины трёх сторон треугольника, и ~\alpha , ~\beta , ~\gamma - это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).


6.1. Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном - равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

  • ~a \leqslant b+c ;
  • ~b \leqslant c+a ;
  • ~c \leqslant a+b .

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.


6.2. Теорема о сумме углов треугольника

\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta + \boldsymbol \gamma = 180^\circ

6.3. Теорема синусов

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R ,

где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

6.4. Теорема косинусов

~c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

Является обобщением теоремы Пифагора.

6.5. Теорема тангенсов

\frac{a-b}{a+b} = \frac{tg[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{tg[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

6.6. Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника \triangle ABC :

  • {a\over b}={a_L\over b_L}
  • l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
  • m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}
  • h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}
  • \ d^2 = R^2 - 2Rr - формула Эйлера
  • \frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1

Де:


7. Площа трикутника

  1. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {1} {2} bh_b , Так як \ H_b = a \ sin \ gamma , То:
  2. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {1} {2} ab \ sin \ gamma
  3. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {1} {2} r (a + b + c) = pr = (pb) r_b
  4. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {abc} {4R}
  5. S_ {\ triangle ABC} = \ sqrt {p (pa) (pb) (pc)} = {1 \ over 4} \ sqrt {(a + b + c) (b + ca) (a + cb) (a + bc)} - формула Герона
  6. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {a ^ 2 \ sin \ beta \ sin \ gamma} {2 \ sin \ alpha}
  7. S_ {\ triangle ABC} = {2R ^ 2 \ sin \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma}
  8. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} x_A & y_A & 1 \ \ x_B & y_B & 1 \ \ x_C & y_C & 1 \ end {vmatrix} = \ frac {\ left | x_A (y_B-y_C) + x_B (y_C-y_A) + x_C (y_A-y_B) \ right |} {2} =
    = \ Frac {\ left | (x_B - x_A) (y_C-y_A) - (x_C-x_A) (y_B-y_A) \ right |} {2}
  9. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {ab} {2} = r ^ 2 +2 rR - Для прямокутного трикутника
  10. S = \ frac {a ^ 2 \ sqrt {3}} {4} - Для рівностороннього трикутника
  11. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {c ^ 2} {2 (\ operatorname {ctg} \ alpha + \ operatorname {ctg} \ beta)} - Якщо трикутник заданий по стороні і двом прилеглим до неї кутам
  12. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {c ^ 2 \ sin \ alpha \ sin \ beta} {2 \ sin (\ alpha + \ beta)} - Якщо трикутник заданий по стороні і двом прилеглим до неї кутам
  13. S_ {\ triangle ABC} = \ frac {i} {4} \ begin {vmatrix} a & \ bar a & 1 \ \ b & \ bar b & 1 \ \ c & \ bar c & 1 \ end {vmatrix} - Орієнтована площа трикутника на комплексній площині з вершинами в a, b, c.

Де:

Для площі справедливі нерівності:

  • \ Sqrt {27} r ^ 2 \ leqslant S \ leqslant \ frac {\ sqrt {27}} {4} R ^ 2 , Причому обидва рівності досягаються.
  • S \ leqslant \ frac {1} {4} (a ^ 2 + b ^ 2) , Де рівність досягається для рівнобедреного прямокутного трикутника.

7.1. Обчислення площі трикутника в просторі за допомогою векторів

Нехай вершини трикутника знаходяться в точках \ \ Mathbf {r} _A (x_A, y_A, z_A) , \ \ Mathbf {r} _B (x_B, y_B, z_B) , \ \ Mathbf {r} _C (x_C, y_C, z_C) .

Введемо вектор площі \ \ Mathbf {S} = \ frac12 [\ mathbf {r} _B-\ mathbf {r} _A, \ mathbf {r} _C-\ mathbf {r} _A] . Довжина цього вектора дорівнює площі трикутника, а спрямований він по нормалі до площини трикутника:

\ Mathbf {S} = \ frac12 \ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \ \ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \ \ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \ end {vmatrix}

Покладемо ~ \ Mathbf {S} = S_x \ mathbf {i} + S_y \ mathbf {j} + S_z \ mathbf {k} , Де ~ S_x , ~ S_y , ~ S_z - Проекції трикутника на координатні площині. При цьому

S_x = \ frac12 \ begin {vmatrix} y_B - y_A & z_B - z_A \ \ y_C - y_A & z_C - z_A \ end {vmatrix} = \ frac12 \ begin {vmatrix} 1 & y_A & z_A \ \ 1 & y_B & z_B \ \ 1 & y_C & z_C \ end {vmatrix}

і аналогічно

S_y = \ frac12 \ begin {vmatrix} x_A & 1 & z_A \ \ x_B & 1 & z_B \ \ x_C & 1 & z_C \ end {vmatrix}, \ qquad S_z = \ frac12 \ begin {vmatrix} x_A & y_A & 1 \ \ x_B & y_B & 1 \ \ x_C & y_C & 1 \ end {vmatrix}

Площа трикутника дорівнює S = \ sqrt {S_x ^ 2 + S_y ^ 2 + S_z ^ 2} .

Альтернативою служить обчислення довжин сторін (по теоремі Піфагора) і далі по формулою Герона.


8. Теореми про трикутниках

Теорема Дезарга : якщо два трикутники перспективні (прямі, що проходять через відповідні вершини трикутників, перетинаються в одній точці), то їх відповідні сторони перетинаються на одній прямій.

Теорема Сонда: якщо два трикутники перспективні і ортологічни (перпендикуляри, опущені з вершин одного трикутника на боку, протилежні відповідним вершинам трикутника, і навпаки), то обидва центри Ортолог (точки перетину цих перпендикулярів) і центр перспективи лежать на одній прямій, перпендикулярній осі перспективи (прямий з теореми Дезарга).

Теорема Чеви

Теорема Менелая


Примітки

  1. Зокрема, саме тому триногий столик може бути нахиленим, але ніколи не буде гойдатися, а чотириногі - гойдаються досить часто, і їх доводиться вирівнювати, підкручуючи ніжку або підкладаючи під них складені картонки або деревинки.
  2. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 108.
  3. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 54.
  4. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 55.
  5. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 50.
  6. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 110.
  7. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 27-28.
  8. 1 2 Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - М .: МЦНМО, 2011. - 148 с. - ISBN 978-5-94057-732-4.
  9. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 125-126.
  10. Акопян А. В., Заславський А. А. Геометричні властивості кривих другого порядку - 2-е вид., Дополн .. - 2011. - С. 105.
  11. Прасолов В. В. Задачі з планіметрії - М .: МЦНМО, 2004.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Правильний трикутник
Єгипетський трикутник
Південний Трикутник
Трикутник Халаіба
Трикутник (сузір'я)
Трикутник Серпінського
Бермудський трикутник
Подерний трикутник
Трикутник Пенроуза
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru