Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Трикутник Паскаля



План:


Введення

Перші 15 рядків трикутника Паскаля (n = 0, 1, ..., 14)

Трикутник Паскаля - арифметичний трикутник, утворений біноміальних коефіцієнтів. Названий на честь Блеза Паскаля.

Якщо окреслити трикутник Паскаля, то вийде рівнобедрений трикутник. У цьому трикутнику на вершині і з боків стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел. Продовжувати трикутник можна нескінченно. Рядки трикутника симетричні щодо вертикальної осі [1]. Має застосування в теорії ймовірностей і володіє цікавими властивостями.


1. Історія

Трикутник Яна Хуея в китайському середньовічному манускрипті, 1303

Перша згадка трикутної послідовності біноміальних коефіцієнтів під назвою meru-prastaara зустрічається в коментарі індійського математика X століття Халаюдхі до праць іншого математика, Пінгали. Трикутник досліджується також Омаром Хайямом близько 1100, тому в Ірані цю схему називають трикутником Хайяма. В 1303 була випущена книга "Яшмовому дзеркало чотирьох елементів" китайського математика Чжу Шицзи, в якій був зображений трикутник Паскаля на одній з ілюстрацій, вважається, що винайшов його інший китайський математик, Ян Хуей (тому китайці називають його трикутником Яна Хуея). На титульному аркуші підручника арифметики, написаному в 1529 Петром Апіаном, астрономом з Інгольтштадского університету, також зображений трикутник Паскаля [1]. А в 1653 (в інших джерелах в 1655 році [1]) вийшла книга Блеза Паскаля "Трактат про арифметичний трикутник" [3].


2. Властивості

  • Числа трикутника симетричні (рівні) щодо вертикальної осі.
  • У рядку з номером n:
  • Сума чисел висхідній діагоналі, що починається з першого елемента (n -1)-го рядка, є n-е число Фібоначчі : [4]
    {N-1 \ choose 0} + {n-2 \ choose 1} + {n-3 \ choose 2} + \ ldots = F_n.
  • Якщо відняти з центрального числа в рядку з парним номером сусіднє число з тієї ж рядки, то вийде число Каталана. [4]
  • Сума чисел n-го рядка трикутника Паскаля дорівнює 2 n [4].
  • Прості дільники чисел трикутника Паскаля утворюють симетричні самоподібних структури.
  • Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні - в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
  • Всі числа в n-й рядку, крім одиниць, діляться на число n, якщо і тільки якщо n є простим числом [5] (наслідок теореми Люка).
  • Якщо в рядку з непарним номером скласти всі числа з порядковими номерами виду 3 n, 3 n +1, 3 n +2, то перші дві суми будуть рівні, а третя на 1 менше.
  • Кожне число в трикутнику дорівнює кількості способів дістатися до нього з вершини, переміщаючись або вправо-вниз, або вліво-вниз.

Примітки

  1. 1 2 3 О. В. Кузьмін Трикутник і піраміда Паскаля: властивості та узагальнення - www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0005_101.pdf / / Соросівський Освітній Журнал. - 2000. - Т. 6. - № 5. - С. 101-109.
  2. Мартін Гарднер Глава 17. Невичерпне чарівність трикутника Паскаля / / Математичні новели - М .: Світ, 1974. - 456 с.
  3. Кавун: Дивовижний трикутник великого француза - www.arbuz.uz / u_treug.html
  4. 1 2 3 4 5 В. Байдікова Варіації на тему "Трикутник Паскаля" - image.websib.ru/07/text_article.htm? 342 / / Імідж. - № 7.
  5. Weisstein, Eric W. Pascal 's Triangle - mathworld.wolfram.com / PascalsTriangle.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Парі Паскаля
Ознака Паскаля
Равлик Паскаля
Закон Паскаля
Теорема Паскаля
Підсумовує машина Паскаля
Трикутник
Трикутник Халаіба
Південний Трикутник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru