Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тілесний кут



План:


Введення

Тілесний кут

Тілесний кут - частина простору, яка є об'єднанням всіх променів, що виходять з даної точки (вершини кута) і перетинають деяку поверхню (яка називається поверхнею, стягивающей даний тілесний кут). Окремими випадками тілесного кута є тригранні та багатогранні кути. Межею тілесного кута є деяка конічна поверхню.

Тілесний кут вимірюється ставленням площі тієї частини сфери з центром у вершині кута, яка вирізається цим тілесним кутом, до квадрату радіусу сфери:

\ Omega \, = \, {S \ over R ^ 2}.
Стерадіан

Очевидно, тілесні кути вимірюються абстрактними (безрозмірними) величинами. Одиницею виміру тілесного кута в системі СІ є стерадіан, рівний тілесному куті, вирізаємо зі сфери радіуса ~ R поверхню з площею ~ R ^ 2 . Повна сфера утворює тілесний кут, рівний ~ 4 \ pi стерадіан (повний тілесний кут), для вершини, розташованої усередині сфери, зокрема, для центру сфери; таким же є тілесний кут, під яким видно будь-яка замкнута поверхня із точки, повністю охоплюється цією поверхнею, але не належить їй. Крім стерадіанов, тілесний кут може вимірюватися в квадратних градусах, квадратних хвилинах і секундах квадратних, а також у частках повного тілесного кута.

Тілесний кут має нульову фізичну розмірність.

Позначається тілесний кут зазвичай літерою ~ \ Omega .

Двоїстий тілесний кут до даного тілесному куті ~ \ Omega визначається як кут, що складається з променів, що утворюють з будь-яким променем кута ~ \ Omega негострий кут.

Коефіцієнти перерахунку одиниць тілесного кута.

Стерадіан Кв. градус Кв. хвилина Кв. секунда Повний кут
1 стерадіан = 1 (180 / π) ≈
≈ 3282,806 кв. градусів
(180 60 / π) ≈
≈ 1,1818103 10 7 кв. хвилин
(180 60 60 / π) ≈
≈ 4,254517 10 10 кв. секунд
1/4π ≈
≈ 0,07957747 повного кута
1 кв. градус = (Π/180) ≈
≈ 3,0461742 10 -4 стерадіан
1 60 =
= 3600 кв. хвилин
(60 60) =
= 12960000 кв. секунд
π / (2 180) ≈
≈ 2,424068 10 -5 повного кута
1 кв. хвилина = (Π / (180 60)) ≈
≈ 8,461595 10 -8 стерадіан
1 / 60 ≈
≈ 2,7777778 10 -4 кв. градусів
1 60 =
= 3600 кв. секунд
π / (2 180 60) ≈
≈ 6,73352335 10 -9 повного кута
1 кв. секунда = (Π / (180 60 60)) ≈
≈ 2,35044305 10 -11 стерадіан
1 / (60 60) ≈
≈ 7,71604938 10 -8 кв. градусів
1 / 60 ≈
≈ 2,7777778 10 -4 кв. хвилин
1 π / (2 180 60 60) ≈
≈ 1,87042315 10 -12 повного кута
Повний кут = 4π ≈
≈ 12,5663706 стерадіан
(2 180) / π ≈
≈ 41252,96125 кв. градусів
(2 180 60) / π ≈
≈ 1,48511066 10 8 кв. хвилин
(2 180 60 60) / π ≈
≈ 5,34638378 10 11 кв. секунд
1

1. Обчислення тілесних кутів

Для довільної стягивающей поверхні S тілесний кут Ω , Під яким вона видна з початку координат, дорівнює

\ Omega = \ iint \ limits_S d \ Omega = \ iint \ limits_S \ sin \ vartheta d \ varphi d \ vartheta = \ iint \ limits_S \ frac {(\ mathbf {r} / r) \ cdot \ mathbf {n} dS } {r ^ 2},

де r, \ vartheta, \ varphi - сферичні координати елемента поверхні d S, \ Mathbf {r} - Його радіус-вектор, \ Mathbf {n} - Одиничний вектор, нормальний до d S.


2. Властивості тілесних кутів

  1. Повний тілесний кут (повна сфера) дорівнює стерадіан.
  2. Сума всіх тілесних кутів, двоїстих до внутрішніх тілесним кутах опуклого багатогранника, дорівнює повному куті.

3. Величини деяких тілесних кутів

  • Трикутник з координатами вершин \ Mathbf {r} _1 , \ Mathbf {r} _2 , \ Mathbf {r} _3 видно з початку координат під тілесним кутом

\ Omega = 2 \, \ mathrm {arctg} \, \ frac {(\ mathbf {r} _1 \ mathbf {r} _2 \ mathbf {r} _3)} {r_1r_2r_3 + (\ mathbf {r} _1 \ cdot \ mathbf {r} _2) r_3 + (\ mathbf {r} _2 \ cdot \ mathbf {r} _3) r_1 + (\ mathbf {r} _3 \ cdot \ mathbf {r} _1) r_2},

де (\ Mathbf {r} _1 \ mathbf {r} _2 \ mathbf {r} _3) - змішане твір даних векторів, (\ Mathbf {r} _i \ cdot \ mathbf {r} _j) - скалярні твори відповідних векторів, напівжирним шрифтом позначені вектори, нормальним шрифтом - їх довжини. Використовуючи цю формулу, можна обчислювати тілесні кути, стягнуті довільними багатокутниками з відомими координатами вершин (для цього достатньо розбити багатокутник на непересічні трикутники).

  • Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса з кутом розчину α дорівнює \ Omega = 2 \ pi (1 - \ cos \ frac {\ alpha} {2}) . Якщо відомі радіус підстави R і висота H конуса, то \ Omega = 2 \ pi (1 - \ frac {H} {\ sqrt {R ^ 2 + H ^ 2}}) . Коли кут розчину конуса малий, \ Omega \ approx \ frac {\ pi \ alpha ^ 2} {4} ( α виражено в радіанах), або \ Omega \ approx 0,000239 \ alpha ^ 2 ( α виражено в градусах). Так, тілесний кут, під яким із Землі видно Місяць і Сонце (їх кутовий діаметр приблизно дорівнює 0,5 ), становить близько 6 10 -5 стерадіан, або ≈ 0,0005% площі небесної сфери (тобто повного тілесного кута).
  • Тілесний кут двугранного кута в стерадіанах дорівнює подвоєному значенню двугранного кута в радіанах:
\ Omega = 4 \, \ operatorname {arctg} \ sqrt {\ operatorname {tg} \ left (\ frac {\ theta_s} {2} \ right) \ operatorname {tg} \ left (\ frac {\ theta_s - \ theta_a } {2} \ right) \ operatorname {tg} \ left (\ frac {\ theta_s - \ theta_b} {2} \ right) \ operatorname {tg} \ left (\ frac {\ theta_s - \ theta_c} {2} \ right)} , Де \ Theta_s = \ frac {\ theta_a + \ theta_b + \ theta_c} {2} - Напівпериметр.
Через двогранні кути α, β, γ тілесний кут виражається, як:
Ω = α + β + γ - π
  • Тілесний кут, під яким видно межу правильного N-гранника з його центру, дорівнює \ Frac {1} {N} повного тілесного кута, або \ Frac {4 \ pi} {N} стерадіан.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кут
Прямий кут
Кут місця
Валентний кут
Усть-Кут
Подорожній кут
Німецький кут
Тригранний кут
Червоний кут
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru