Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Умови Коші - Рімана



План:


Введення

Умови Коші - Рімана, звані також умовами д'Аламбера - Ейлера - співвідношення, що зв'язують речову \, U = u (x, y) і уявну \, V = v (x, y) частини всякої дифференцируемой функції комплексного змінного \, W = f (z) = u + iv, \ z = x + iy .


1. Формулювання

1.1. В декартових координатах

Для того щоб функція \, W = f (z) , Визначена в деякій області \, D комплексній площині, була диференційована в точці \, Z_0 = x_0 + iy_0 як функція комплексного змінного \, Z , Необхідно і достатньо, щоб її речова і уявна частини \, U і \, V були діфференцируєми в точці \, (X_0, y_0) як функції речових змінних \, X і \, Y і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші - Рімана:

\ Frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y};
\ Frac {\ partial u} {\ partial y} = - \ frac {\ partial v} {\ partial x}.

Компактна запис:

\ Frac {\ partial f} {\ partial x} + i \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 0.

Якщо умови Коші - Рімана виконані, то похідна \, F '(z) представима в будь-який з наступних форм:

\, F '(z) = \ frac {\ partial u} {\ partial x} + i \ frac {\ partial v} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} - i \ frac {\ partial u} {\ partial y}.
п про р
Доказ

1.2. 1. Необхідність

За умовою теореми існує межа

\, F '(z_0) = \ lim \ limits_ {\ Delta z \ to 0} \ frac {f (z_0 + \ Delta z)-f (z_0)} {\ Delta z} ,

не залежний від способу прагнення \ Delta z до нуля. Покладемо \ Delta z = \ Delta x і розглянемо вираз

\, F '(z_0) = \ lim \ limits_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {u (x_0 + \ Delta x, y_0)-u (x_0, y_0)} {\ Delta x} + i \ lim \ limits_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {v (x_0 + \ Delta x, y_0)-v (x_0, y_0)} {\ Delta x} .

З існування межі комплексного виразу слід існування дійсної та уявної його частин. Тому в точці x_0, y_0 існують приватні похідні по x функцій u (x, y) і v (x, y) і має місце формула

\, F '(z_0) = u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0)

Вважаючи \ Delta z = i \ Delta y , Знаходимо

\, F '(z_0) =-i \ lim \ limits_ {\ Delta y \ to 0} \ frac {u (x_0, y_0 + \ Delta y)-u (x_0, y_0)} {\ Delta y} + \ lim \ limits_ {\ Delta y \ to 0} \ frac {v (x_0, y_0 + \ Delta y)-v (x_0, y_0)} {\ Delta y} =-iu_y (x_0, y_0) + v_y (x_0, y_0) .

Порівнюючи дві останні формули, переконуємося в справедливості умов Коші-Рімана.


1.3. 2. Достатність

За визначенням дифференцируемости, прирощення функцій \, U (x, y) і \, V (x, y) в околиці точки (X_0, y_0) можуть бути записані у вигляді

\, U (x_0 + \ Delta x, y_0 + \ Delta y)-u (x_0, y_0) = u_x (x_0, y_0) \ Delta x + u_y (x_0, y_0) \ Delta y + \ xi (x, y) ,
\, V (x_0 + \ Delta x, y_0 + \ Delta y)-v (x_0, y_0) = v_x (x_0, y_0) \ Delta x + v_y (x_0, y_0) \ Delta y + \ eta (x, y) ,

де функції \ Xi (x, y) і \ Eta (x, y) прагнуть до нуля при x \ rightarrow x_0 , y \ rightarrow y_0 швидше, ніж \ Delta x і \ Delta y \ qquad(\ Lim \ limits_ {| \ Delta z | \ to 0} \ frac {\ xi (x, y)} {| \ Delta z |} = 0 , \ Lim \ limits_ {| \ Delta z | \ to 0} \ frac {\ eta (x, y)} {| \ Delta z |} = 0 , | \ Delta z | = \ sqrt {(\ Delta x) ^ 2 + (\ Delta y) ^ 2}) . Складемо тепер різницеве ​​співвідношення \, \ Frac {f (z_0 + \ Delta z)-f (z_0)} {\ Delta z} , Де \, \ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y і перетворимо його до виду

\, \ Frac {f (z_0 + \ Delta z)-f (z_0)} {\ Delta z} = u_x (x_0, y_0) \ frac {\ Delta x + i \ Delta y} {\ Delta x + i \ Delta y} + v_x (x_0, y_0) \ frac {i \ Delta x - \ Delta y} {\ Delta x + i \ Delta y} + \ frac {\ xi (x, y) + i \ eta (x, y )} {\ Delta x + i \ Delta y} = u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0) + \ frac {\ zeta (z)} {\ Delta z}
\, (\ Zeta (z) = \ xi (x, y) + i \ eta (x, y)) .

Зауважимо, що при прагненні \, \ Delta z до нуля останній доданок цієї формули прагне до нуля, а перші залишаються незмінними. Тому існує межа \, \ Lim \ limits_ {\ Delta z \ to 0} \ frac {f (z_0 + \ Delta z)-f (z_0)} {\ Delta z} = f '(z_0) , Що і доводить дифференцируемость функції \, F (z) в точці \, Z_0 .


1.4. У полярних координатах

В полярній системі координат (R, \ varphi) умови Коші-Рімана виглядають так:

\ Frac {\ partial u} {\ partial r} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial v} {\ partial \ varphi}; \ quad \ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi} =-r \ frac {\ partial v} {\ partial r}.

Компактна запис:

\ Frac {\ partial f} {\ partial r} + \ frac {i} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi} = 0.

1.5. Зв'язок модуля і аргументу дифференцируемой комплексної функції

Часто зручно записувати комплексну функцію в показовою формі:

\, F (z) = R (x, y) e ^ {i \ Phi (x, y)}

Тоді умови Коші-Рімана пов'язують модуль \, R і аргумент \, \ Phi функції таким чином:

\ Frac {\ partial R} {\ partial x} = R \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}; \ quad \ frac {\ partial R} {\ partial y} = - R \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}

2. Геометричний зміст умов Коші-Рімана

Нехай функція w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y), \ z = x + iy дифференцируема. Розглянемо в комплексній площині (X, y) два сімейства кривих (лінії рівня).

Перше сімейство: u (x, y) = const.
Друге сімейство: v (x, y) = const.

Тоді умови Коші-Рімана означають, що криві першого сімейства ортогональні кривих другого сімейства.


3. Алгебраїчний сенс умов Коші-Рімана

Якщо розглядати безліч комплексних чисел \ Mathbb {C} як векторний простір над \ Mathbb {R} , То значення похідної функції f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} в точці є лінійним відображенням з 2-мірного векторного простору \ Mathbb {C} в себе ( \ Mathbb {R} -Лінійність). Якщо ж розглядати \ Mathbb {C} як одномірне векторний простір над \ Mathbb {C} , То і похідна в точці буде лінійним відображенням одновимірного векторного простору \ Mathbb {C} в себе ( \ Mathbb {C} -Лінійність), яке в координатах являє собою множення на комплексне число f '(z) . Очевидно, всяке \ Mathbb {C} -Лінійне відображення \ Mathbb {R} -Лінійно. Так як поле (одномірне векторний простір) \ Mathbb {C} ізоморфмно полю речових матриць виду \ Begin {pmatrix} a & b \ \-b & a \ end {pmatrix} із звичайними матричними операціями, умови Коші-Рімана, що накладаються на елементи матриці Якобі відображення f в точці z (Точніше, відображення \ Tilde {f}: (x, y) \ mapsto (u (x, y), v (x, y)) в точці (X, y) ), Є умовами \ Mathbb {C} -Лінійності f '(z) , Тобто \ Tilde {f} '(x, y) .


4. Історія

Ці умови вперше з'явилися в роботі д'Аламбера ( 1752). В роботі Ейлера, почуте Петербурзької академії наук в 1777, умови отримали вперше характер загальної ознаки аналітичності функцій.

Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуара, представленого Паризької академії наук у 1814. Знаменита дисертація Рімана про основи теорії функцій відноситься до 1851.


Література

  • Євграфов М. А. Аналітичні функції. - 2-ге вид., Перероб. і дополн. - М .: Наука, 1968. - 472 с.
  • Привалов І. І. Введення в теорію функцій комплексного змінного: Посібник для вищої школи. - М.-Л.: Державне видавництво, 1927. - 316 с.
  • Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної. - М .: Наука, 1974. - 320 с.
  • Тітчмарша Є. Теорія функцій: Пер. з англ. - 2-ге вид., Перероб. - М .: Наука, 1980. - 464 с.
  • Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз. - М .: Наука, 1969. - 577 с.
  • Картан А. Диференціальне числення. Диференціальні форми. - М .: Світ, 1971. - 392 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Стандартні умови
Початкові і граничні умови
Нормальні і стандартні умови
Умови Каруша - Куна - Таккера
Граничні умови для електромагнітного поля
Похідна Рімана
Сфера Рімана
Інтеграл Рімана
Сфера Рімана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru