Умовна збіжність

Ряд \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n називається умовно збіжним, якщо сам він сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розбігається. Тобто, якщо \ Lim_ {m \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ ma_n існує (і не нескінченний), але \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty | a_n | = \ infty .


1. Приклади

Прості приклади умовно збіжних рядів дають убувають по абсолютній величині Знакозмінні ряди. Наприклад, ряд

\ Sum_ {n = 1} ^ \ infty \ tfrac {(-1) ^ {n +1}} n = \ ln 2

сходиться лише умовно, так як ряд з його абсолютних величин - гармонійний ряд - розходиться.

2. Властивості

  • Якщо ряд умовно сходиться, то ряди, складені з його позитивних і негативних членів, розходяться.
  • Шляхом зміни порядку членів умовно сходящегося ряду можна отримати ряд, що сходиться до будь наперед заданої сумі або ж розбіжний ( теорема Рімана).
  • При почленно множенні двох умовно збіжних рядів може вийти розбіжний ряд.

3. Варіації і узагальнення