Унітарний оператор - обмежений лінійний оператор U: HH на гільбертовому просторі H, який задовольняє співвідношенню

U ^ * U = UU ^ * = I \!

де U * - ермітових сполучений до U оператор, і I: HH одиничний оператор. Це властивість еквівалентно наступним:

  1. U зберігає скалярний добуток <,> гільбертовому просторі, тобто, для всіх векторів x і y в гільбертовому просторі, \ Langle Ux, Uy \ rangle = \ langle x, y \ rangle.
  2. U - сюр'ектівний оператор.

Це також еквівалентно, здавалося б слабшому умові:

  1. U зберігає скалярний добуток, і
  2. образ U - щільне безліч.

Щоб побачити це, зауважимо, що U ізометрічен (а тому є обмеженим лінійним оператором). Це випливає з того, що U зберігає скалярний добуток. Той факт, що образ U - щільне безліч, дає, що зворотний оператор також обмежений. Очевидно, що U -1 = U *.

Унітарний елемент це узагальнення поняття унітарного оператора. В унітарної *-Алгебри, елемент U алгебри називається унітарною елементом якщо

U ^ * U = UU ^ * = I

де I одиничний елемент. [1]

Властивості унітарних перетворень:

  • оператор унітарного перетворення завжди звернемо.
  • якщо оператор \ Hat HЕрміта, то оператор \ Hat U = \ exp (i \ hat H) унітаріїв.

1. Приклади

  • Обертання в R 2 - це найпростіший нетривіальний приклад унітарної оператора. Обертання не змінюють довжини векторів і кут між двома векторами. Цей приклад також може бути узагальнений на R 3.
  • У векторному просторі C комплексних чисел множення на число з модулем 1, тобто число виду e i θ для θR, є унітарною оператором. Θ називається фазою. Можна помітити, що значення θ, кратне 2 π, не впливає на результат, тому безліч незалежних унітарних операторів в C топологічно еквівалентно окружності.

2. Властивості

  • Спектр унітарного оператора U лежить на одиничному колі. Це можна побачити з спектральної теореми для нормального оператора. За цією теоремою, U унітарно еквівалентне множенню на вимірну по Бореля функцію f на L (μ), для деякого простору з мірою (X, μ). З UU * = I слід | f (x) | = 1.

3. Унітарні перетворення у фізиці

В квантовій механіці стан квантової системи описується вектором в гільбертовому просторі. Норма вектора стану ізольованої квантової системи описує ймовірність знайти систему хоч в якомусь стані, а значить, вона зобов'язана дорівнювати одиниці. Відповідно, еволюція квантової системи в часі - це деякий оператор, що залежить від часу, і, через вимоги збереження норми, він є унітарною. Неунітарні оператори еволюції (або, що те ж саме, неермітовие гамільтоніан) для ізольованої квантової системи заборонені в квантовій механіці.


Примітки

  1. Doran Robert S. Characterizations of C *-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. - New York: Marcel Dekker, 1986. - ISBN 0824775694