Фазова швидкість уздовж напрямку, відхиленого від хвильового вектора на кут α. Розглядається монохроматична плоска хвиля.

Фазова швидкість - швидкість переміщення точки, що володіє постійною фазою коливального руху, в просторі вздовж заданого напрямку. Зазвичай розглядають напрям, що збігається з напрямком хвильового вектора, і фазовою називають швидкість, виміряну саме в цьому напрямку, якщо противне не вказано явно (тобто якщо явно не вказано напрямок, відмінне від напрямку хвильового вектора). Фазова швидкість у напрямку хвильового вектора збігається зі швидкістю руху фазового фронту (поверхні постійної фази). Її можна розглядати при бажанні як векторну величину.

Найбільш уживане позначення: v_ \ phi \ .

Строго кажучи, поняття фази застосовується лише при описі гармонійних або монохроматичних (тобто синусоїдальних cos (\ phi) або є уявними експонентами e ^ {i \ phi} ) Хвиль, а також - наближено - для хвиль близької форми (наприклад, майже монохроматичні хвильових пакетів) або легко зводяться до синусоїдальним (наприклад, сферичних хвиль виду cos (\ phi) / r ), Або, що менш коректно, при описі періодичних хвиль іншої форми. Тим не менш, хвилю (практично) будь-якої форми за допомогою перетворення Фур'є можна представити як суму монохроматичних хвиль, і тоді до кожної з цих хвиль поняття фази і фазової швидкості застосовне цілком строго (втім, тоді у кожної монохроматичному хвилі в розкладанні буде, взагалі кажучи, своя фазова швидкість, не збігається з іншими; тільки в приватних випадках вони можуть все точно збігатися або бути близькі).

Для опису хвиль, відмінних від гармонійних, (особливо для опису хвильових пакетів), використовують, окрім поняття фазової швидкості, поняття швидкості груповий (описує рух не окремого гребеня в хвильовому пакеті, а його огинаючої, наприклад, максимуму огинаючої).


1. Формули

Основна формула, яка визначає фазову швидкість (монохроматичному) хвилі в одновимірному просторі або фазову швидкість уздовж хвилевого вектора для хвилі в просторі більшої розмірності:

v_ {\ phi} = \ omega / k \,

яка є прямим наслідком того факту, що фаза плоскої хвилі в однорідному середовищі є

\ Phi = \ omega t \ - k x для одновимірного випадку

або \ Phi = \ omega t \ - \ vec k \ cdot \ vec x для розмірності, більшою одиниці.

Конкретне співвідношення між ω та k - так званий закон дисперсії для кожного конкретного типу хвиль отримують зазвичай з диференціального рівняння, що описує даний тип хвиль, підставляючи в нього монохроматичну (найчастіше плоску) хвилю [1]

У разі, коли фазова швидкість не залежить для даного типу хвиль від частоти або хвильового числа (і напрямки хвильового вектора), тоді і групова швидкість збігається з нею.


1.1. Фазова швидкість електромагнітної хвилі

У вакуумі для електромагнітної хвилі будь-якої частоти (принаймні, в тих діапазонах частот і інтенсивностей, які досліджені) фазова швидкість, виміряна в напрямку хвильового вектора, завжди дорівнює одній і тій же величині - швидкості світла у вакуумі, універсальної константі.

У середовищах закон дисперсії електромагнітних хвиль досить складний (див. Дисперсія світла), і фазова швидкість може помітно змінюватися.


1.2. Для хвильового рівняння

Будь хвиля, описувана хвильовим рівнянням

\ Frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial t ^ 2} = C ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2}

має фазову швидкість С (причому C тут - якийсь постійний коефіцієнт; швидкості світла цей коефіцієнт дорівнює в хвильовому рівнянні для електромагнітних хвиль).

Такий результат виходить прямою підстановкою в це рівняння монохроматичному хвилі виду cos (kx - \ omega t) і потім обчисленням \ Omega / k .

Цей результат вірний не тільки для хвильового рівняння на одновимірному просторі (ми його використовували вище лише для стислості; все залишається абсолютно аналогічним при будь-якій кількості похідних за координатами в правій частині).


1.3. Для рівняння Клейна - Гордона

Для рівняння Клейна - Гордона

\ Frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial t ^ 2} = C ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2} + C ^ 4 m ^ 2 f,

відрізняється тільки останнім членом, дає при аналогічній підстановці

\ Omega ^ 2 = C ^ 2 k ^ 2 + C ^ 4 m ^ 2,

звідки:

\ Omega = \ sqrt {C ^ 2 k ^ 2 + C ^ 4 m ^ 2}

і

v_ \ varphi = \ omega / k = C \ sqrt {1 + C ^ 2 m ^ 2 / k ^ 2}.

(Це вираз при ненульових дійсних m завжди більше, ніж C і може бути як завгодно великим при k → 0.


2. Фазова швидкість як вектор

У певному сенсі фазова швидкість не є вектором. Говорячи так, мають на увазі той факт, що фазові швидкості за різними напрямками (наприклад за напрямками координатних осей), що визначаються як це описано вище, не є ні координатами, ні проекціями [2] ніякого вектора [3], в тому числі очевидно не є проекціями або координатами вектора, що збігається за напрямком з хвильовим вектором, і з абсолютною величиною, рівною фазової швидкості в цьому напрямку.

Але це, звичайно, не заважає при бажанні ввести чисто формально вектор фазової швидкості, за визначенням співпадає за напрямком з хвильовим вектором, і з абсолютною величиною, рівною фазової швидкості в цьому напрямку. Питання про те, чи коректно називати такий вектор вектором фазової швидкості, є чисто термінологічним (конвенціональних), фактом є лише те, що його проекції на осі координат або компоненти по цих осях не будуть відповідати фазової швидкості уздовж цих напрямів відповідно з визначенням фазової швидкості за напрямом, даними на початку статті (і взагалі з якимось розумним визначенням, крім чисто формального, описаного в даному абзаці).

Конкретно ж, для випадку плоскої гармонічної хвилі фазову швидкість уздовж хвилевого вектора можна виразити таким чином:

v_ \ phi \ equiv v_ {\ phi, 0} = \ omega / k \, , Де k - хвильове число, ω - кутова частота.

При цьому, фазова швидкість уздовж напрямку, відхиленого від хвильового вектора на кут \ Alpha , Буде дорівнює:

v_ {\ phi, \ alpha} = \ frac {v_ {k}} {\ cos \ alpha}

Нерозуміння цього факту часто служить причиною непорозумінь і помилок. Наприклад, з наведеного вище ясно, що фазова швидкість може бути більше швидкості світла (це випливає прямо з тільки що наведеної формули, враховуючи що \ Cos \ alpha може приймати як завгодно малі значення при прагненні кута до прямого, і, відповідно, фазова швидкість у напрямку, близькому до ортогональному, виявляється як завгодно велика, прагнучи до нескінченності) [4].


3. Чи може фазова швидкість перевищувати швидкість світла

Фазова швидкість може перевищувати швидкість світла у вакуумі, і нерідко її перевершує. Це ніяк не суперечить відомому принципу максимальності швидкості світла, необхідність якого виникає щоб одночасно дотримувалися принцип причинності (щоб не виникало причинних парадоксів) і принцип відносності ( Лоренц-інваріантність).

Справа в тому, що ці принципи накладають обмеження лише на швидкість поширення таких фізичних об'єктів, за допомогою яких можна передати інформацію. А фазова швидкість [5] не відноситься до швидкостей таких об'єктів. Чисто монохроматична (синусоїдальна) хвиля нескінченна в просторі і в часі, не може ніяк змінитися, щоб передати інформацію (якщо ми промодуліруем хвилю, вона перестане бути монохроматичному, а швидкість поширення модуляції - не збігається з фазової швидкістю, звичайно збігаючись зі швидкістю груповий для майже монохроматичних хвиль).


3.1. Фазова швидкість у напрямку, який не збігається з хвильовим вектором

Оскільки фазова швидкість, виміряна уздовж довільного напрямку, не збігається з хвильовим вектором і напрямком поширення хвилі, не є швидкістю руху "фізичного об'єкта", тобто, об'єкта, стан якого в наступні моменти часу причинно обумовлено станом в попередні, а по суті характеризує просто стан осціллірующімі поля в штучно вибраних точках, часто (а саме якщо вибрати досить великий кут з хвильовим вектором), фазова швидкість по даному напрямку будь, навіть як завгодно повільною (як показано в параграфі вище), хвилі може перевищувати швидкість світла, прагнучи до нескінченності при прагненні кута до прямого.

Зокрема, фазова швидкість світла (чи взагалі будь біжучому електромагнітної хвилі) в вакуумі, виміряна по будь-якому напряму, який не збігається з її хвильовим вектором, завжди більше швидкості світла.

Але справа не обмежується фазовою швидкістю по довільному напрямку. Швидкість світла може бути перевершена навіть і фазовою швидкістю, виміряної уздовж хвилевого вектора.


3.2. Фазова швидкість для квантової частинки

Фазова швидкість квантової хвилі, відповідної будь масивної частинки (тобто частинки, що має масу більше нуля), завжди більше швидкості світла. Це легко бачити з формул \ V_ \ phi = \ omega / k , E = \ hbar \ omega і p = \ hbar k , З чого \ V_ \ phi = E / p , В той час як E для масивних частинок завжди більше p за рахунок маси ( енергії спокою).

Однак у квантовій фізиці - принаймні, в її сучасному формулюванні - ця фазова швидкість в принципі не може безпосередньо спостерігатися (так як фаза ненаблюдаемости взагалі). Доступна ж спостереженню лише групова швидкість, яка і є квантовим аналогом звичайної швидкості класичної частинки.


3.3. Фазова швидкість для рівняння Клейна - Гордона

Але диференціальні рівняння, що описують квантові частинки, можуть бути реалізовані в принципі і на інших фізичних системах (наприклад, на досить простих механічних моделях). У цьому випадку фазова швидкість - цілком доступна спостереженню.

Тим не менше і тут фазова швидкість може бути зроблена як завгодно великий (досить підібрати досить мале k), і в принципі - її неважко зробити більшою, ніж швидкість світла.

Цей на вигляд парадоксальний результат пов'язаний з тим, що "поширення" такої хвилі є ілюзією [6] в тому сенсі, що між різними частинами хвилі немає причинного зв'язку (стан хвилі, просунулися вправо не визначається тим, якою вона була зліва). У цьому сенсі ситуація аналогічна ситуації з рухомим швидше світла зайчиком ітп.


Примітки

  1. cos (kx - \ omega t) або exp (i (kx - \ omega t)) або аналогічний багатовимірний варіант.
  2. У разі використання, наприклад, косокутних координат поняття координати вектора і проекції на вісь не збігаються.
  3. Звичайно, в певній фіксованій системі координат будь-яка трійка (будемо говорити для визначеності про тривимірному випадку) чисел визначає вектор; проте якщо ми маємо справу зі справжнім вектором, то при зміні системи координат, наприклад, при повороті осей, ми повинні отримати узгоджені за певними правилами результати для будь-якої системи координат, а вже таке виявляється для розглянутої нами трійки чисел невірним.
  4. Це не суперечить теорії відносності. Див. наступний параграф.
  5. Як, наприклад, і швидкість зайчика на екрані - див. статтю Сверхсветових рух.
  6. Поширення як факт, звичайно, має місце; під ілюзією тут розуміється те, що ми схильні інтуїтивно вкладати в цей факт більше, ніж у ньому реально є, а саме ми інтуїтивно схильні вважати, що, для хвилі, двіжщейся зліва направо, попередні стани хвилі зліва є причиною наступних станів праворуч, що не так. Насправді більш вірним було б сказати, що різні частини цієї хвилі коливаються незалежно один від одного, і накладення таких коливань і дає біжить хвилю (дійсно, чимось схоже на оптичний обман).

.