Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Факторіал



План:


Введення

Факторіал числа n (позначається n!, Вимовляється ен факторіал) - твір всіх натуральних чисел до n включно:

n! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot n = \ prod_ {i = 1} ^ n i .

За визначенням вважають 0! = 1 . Факторіал визначений лише для цілих невід'ємних чисел.

Послідовність факторіалів невід'ємних цілих чисел починається так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, ... (послідовність A000142 в OEIS)

Факторіали часто використовуються в комбінаториці, теорії чисел і функціональному аналізі.


1. Властивості

1.1. Рекурентна формула

n! = \ begin {cases} 1 & n = 0, \ \ n \ cdot (n-1)! & N> 0. \ End {cases}

1.2. Комбінаторна інтерпретація

В комбінаториці факторіал натурального числа n інтерпретується як кількість перестановок (упорядкування) безлічі з n елементів. Наприклад, для багатьох {A, B, C, D} з 4-х елементів існує 4! = 24 перестановки:

 ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC ​​BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA 

Комбінаторна інтерпретація факторіала служить обгрунтуванням тотожності 0! = 1, т. к. пусте безліч впорядковано єдиним способом.


1.3. Зв'язок з гамма-функцією

Факторіал пов'язаний з гамма-функцією від цілочисельного аргументу співвідношенням:

n! = Γ (n + 1)

Таким чином, гамма-функцію розглядають як узагальнення факторіала для позитивних дійсних чисел.

Амплітуда і фаза факторіала комплексного аргументу.

Шляхом аналітичного продовження її також розширюють і на всю комплексну площину, виключаючи особливі точки при n =- 1, -2, -3 \ ldots .


1.4. Формула Стірлінга

Формула Стірлінга - асимптотична формула для обчислення факторіала:

n! = \ Sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ n \ left (1 + \ frac {1} {12} n + \ frac {1} {288 n ^ 2 } - \ frac {139} {51840 n ^ 3} + O \ left (n ^ {-4} \ right) \ right),

см. O-велике. Коефіцієнти цього розкладання дають послідовність A001163 в OEIS (чисельники) і послідовність A001164 в OEIS (знаменники).

У багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга:

n! \ Approx \ sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ n

При цьому можна стверджувати, що

\ Sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ ne ^ {1 / (12n +1)} <n! <\ Sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ ne ^ {1 / (12n)}

1.5. Розкладання на прості числа

Кожне просте число p входить в розкладання n! на прості в ступені

\ Left \ lfloor \ frac {n} {p} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac {n} {p ^ 2} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac {n} {p ^ 3} \ right \ rfloor + \ ldots

Таким чином,

n! = \ Prod_ {p} p ^ {\ lfloor \ frac {n} {p} \ rfloor + \ lfloor \ frac {n} {p ^ 2} \ rfloor + \ ldots} ,

де твір береться за всім простим числам.


1.6. Інші властивості

  • Для натурального числа n
    n! ^ 2 \ geqslant n ^ n \ geqslant n! \ Geqslant n

2. Узагальнення

2.1. Подвійний факторіал

Подвійний факторіал числа n позначається n! і визначається як добуток всіх натуральних чисел у відрізку [1, n], що мають ту ж парність що і n. Таким чином,

(2k)! = 2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots 2k = \ prod_ {i = 1} ^ {k} 2i = 2 ^ k \ cdot k!
(2k +1)! = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k +1) = \ prod_ {i = 0} ^ {k} (2i +1) = \ frac {(2k +1)!} {2 ^ k \ cdot k !} = \ frac {(2k +1 )!}{( 2k)!}

За визначенням вважають 0!! = 1 .

Послідовність значень n! починається так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, ... (послідовність A006882 в OEIS)

2.2. Кратний факторіал

m-кратний факторіал числа n позначається n \ underbrace {! \ ldots!} _m і визначається наступним чином:

Нехай число n представимо у вигляді n = m k - r , Де k \ in \ mathbb {Z}, r \ in \ {0,1, \ ldots, m-1 \} . Тоді [1]

n \ underbrace {! \ ldots!} _m = \ prod_ {i = 1} ^ k (mi-r).

Подвійний факторіал є окремим випадком m-кратного факторіала для m = 2.


2.3. Зв'язок з гамма-функцією

\ Prod_ {i = 1} ^ {k} (mi-r) = m ^ k \ cdot \ frac {\ Gamma \ left (k-\ frac {r} {m} +1 \ right)} {\ Gamma \ left (1 - \ frac {r} {m} \ right)} [2]

2.4. Зростаючий факторіал

Убуваючим факторіалів (або неповним факторіалів) називається вираз

(N) _k = n ^ {\ underline {k}} = n ^ {[k]} = n \ cdot (n-1) \ cdot \ ldots \ cdot (n-k +1) = \ frac {n! } {(nk)!}

Зростаючий факторіал дає число розміщень з n по k.

2.5. Зростаючий факторіал

Зростаючим факторіалів називається вираз

n ^ {(k)} = n ^ {\ overline {k}} = n \ cdot (n +1) \ cdot \ ldots \ cdot (n + k-1) = \ frac {(n + k-1) !} {(n-1)!}

2.6. Прайморіал або пріморіал

Прайморіал або пріморіал ( англ. primorial ) Числа n позначається n # і визначається як добуток простих чисел, що не перевищують n. Наприклад,

11 \ # = 12 \ # = 2 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 = 2310

Послідовність прайморіалов (включаючи {\ Textstyle {1 \ # \ equiv 1}} ) Починається так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, ... (послідовність A002110 в OEIS)

2.7. Суперфакторіали

Нейл Слоан і Саймон Плоуф (англ.) в 1995 визначили суперфакторіал як твір перших n факторіалів. Згідно з цим визначенням суперфакторіал чотирьох дорівнює (оскільки усталеного позначення немає, використовується функціональне)

\ Operatorname {sf} (4) = 1! \ Times 2! \ Times 3! \ Times 4! = 288 \,

У загальному

\ Operatorname {sf} (n) = \ prod_ {k = 1} ^ n k! = \ Prod_ {k = 1} ^ nk ^ {n-k +1} = 1 ^ n \ cdot2 ^ {n-1} \ cdot3 ^ {n-2} \ cdots (n-1) ^ 2 \ cdot n ^ 1.

Послідовність суперфакторіалов чисел n ⩾ 0 починається так:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (послідовність A000178 в OEIS)

Ідея була узагальнена в 2000 Генрі Боттомлі (англ.), що призвело до гіперфакторіалам ( англ. Super-duper-factorial ), Які є твір перших n суперфакторіалов. Послідовність гіперфакторіалов чисел n ⩾ 0 починається так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5944066965504000, ... (послідовність A055462 в OEIS)

Продовжуючи рекурентної, можна визначити факторіал кратного рівня, де m-рівневий факторіал числа n як твір перших n (m -1)-рівневих факторіалів, тобто

\ Operatorname {mf} (n, m) = \ operatorname {mf} (n-1, m) \ operatorname {mf} (n, m-1) = \ prod_ {k = 1} ^ nk ^ {n-k + m-1 \ choose nk},

де \ Operatorname {mf} (n, 0) = n для n> 0 і \ Operatorname {mf} (0, m) = 1 .


2.8. Субфакторіал

Субфакторіал ! N \! визначається як кількість заворушень порядку \! N , Тобто перестановок \! N -Елементного безлічі без нерухомих точок.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru