Формальний степеневий ряд - формальне алгебраїчне вираз виду:

F (X) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nX ^ n,

в якому коефіцієнти {A_n} належать деякому кільцю {R} . На відміну від статечних рядів в аналізі формальним статечним рядах не надається числових значень і відповідно не має сенсу збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні статечні ряди досліджуються в алгебрі, топології, комбінаториці.


1. Неформальне опис

2. Алгебраїчні операції

В R [[X]] можна таким чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

F (X) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} a_nX ^ n, \ qquad G (X) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} b_nX ^ n, \ qquad H (X) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} c_nX ^ n.

Тоді:

H = F + G \ iff \ forall n \, c_n = a_n + b_n
H = F \, \ cdot \, G \ iff \ forall n \, c_n = \ sum \ limits_ {k + l = n} a_k b_l
H = F \ circ G \ iff \ forall n \, c_n = \ sum \ limits_ {s = 1} ^ n a_s \ sum \ limits_ {k_1 + \ dots + k_s = n} b_ {k_1} b_ {k_2} \ dots b_ {k_s} (При цьому необхідно, щоб b_0 = 0 )
H = F '\ iff \ forall n \, c_n = (n +1) a_ {n +1}

Таким чином, формальні степеневі ряди утворюють кільце.


3. Топологія

У безлічі R [[X]] також можна задати топологію, що породжується наступної метрикою :

d ((a_n), (b_n)) = 2 ^ {-k}, \, \!
де k найменше натуральне число таке, що a kb k;

Можна довести, що певні множення додавання в цій топології є безперервними, і тоді, формальні степеневі ряди з певною топологією утворюють топологічний кільце.


4. Оборотні елементи

Формальний ряд:

\ Sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n X ^ n

в R [[X]] є оборотним в R [[X]] тоді і тільки тоді, коли a 0 є оборотним в R. Це є необхідним, оскільки вільний член твори дорівнює a_0b_0 , І достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

\ Begin {align} b_0 & = \ frac {1} {a_0} \ \ b_n & = - \ frac {1} {a_0} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i b_ {ni} \ qquad \ forall n \ , n \ ge 1. \ End {align}

5. Властивості