Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Формула Брахмагупти



Формула Брахмагупти висловлює площа вписаного в коло чотирикутника як функцію довжин його сторін.

Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін a, b, c, d і напівпериметр p = \ frac {a + b + c + d} {2} , То його площа S дорівнює S = \ sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d)}.


Доказ

Площа вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі площ \ Triangle ADB і \ Triangle BDC

S = \ frac {1} {2} ab \ sin A + \ frac {1} {2} cd \ sin C.

Так як A B C D є вписаним чотирикутником, то \ Angle DAB = 180 ^ \ circ - \ angle DCB. Отже, sin A = sin C :

S = \ frac {1} {2} ab \ sin A + \ frac {1} {2} cd \ sin A
S ^ 2 = \ frac {1} {4} \ sin ^ 2 A (ab + cd) ^ 2
4S ^ 2 = (1 - \ cos ^ 2 A) (ab + cd) ^ 2 \,
4S ^ 2 = (ab + cd) ^ 2 - \ cos ^ 2 A (ab + cd) ^ 2. \,

Записавши теорему косинусів для сторони D B, в \ Triangle ADB і \ Triangle BDC, отримуємо:

a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos A = c ^ 2 + d ^ 2 - 2cd \ cos C. \,

Використовуємо cos C = - cos A ( A і C противолежащие), а потім виносимо за дужки 2cos A :

2 \ cos A (ab + cd) = a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 - d ^ 2. \,

Підставимо отримане в отриману раніше формулу площі:

4S ^ 2 = (ab + cd) ^ 2 - \ frac {1} {4} (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 - d ^ 2) ^ 2
16S ^ 2 = 4 (ab + cd) ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 - d ^ 2) ^ 2, \,

Застосуємо формулу x 2 - y 2 = (x + y) (x - y) :

(2 (ab + cd) + a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 - d ^ 2) (2 (ab + cd) - a ^ 2 - b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) \,
= ((A + b) ^ 2 - (c-d) ^ 2) ((c + d) ^ 2 - (a-b) ^ 2) \,
= (A + b + c-d) (a + b + d-c) (a + c + d-b) (b + c + d-a). \,

Так як напівпериметр p = \ frac {a + b + c + d} {2},

16S ^ 2 = 16 (p-a) (p-b) (p-c) (p-d). \,

Витягуючи квадратний корінь, одержуємо:

S = \ sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d)}.

Близькі результати і узагальнення

  • Формула Брахмагупти узагальнює формулу Герона для площі трикутника : досить вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, d = 0 ).
  • На випадок невпісанних чотирикутників формула Брахмагупти може бути поширена таким чином:
S = \ sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d)-abcd \ cos ^ 2 \ theta},

де θ є полусумма протилежних кутів чотирикутника. (Яку саме пару протилежних кутів взяти ролі не грає, тому що якщо полусумма однієї пари протилежних кутів дорівнює θ , То полусумма двох інших кутів буде 180 ^ \ circ - \ theta і \ Cos ^ 2 (180 ^ \ circ - \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta. )

Іноді цю більш загальну формулу записують так:

S = \ sqrt {(pa) (pb) (pc) (pd) - \ textstyle {1 \ over4} (ac + bd + uv) (ac + bd-uv)} \,

де u і v - Довжини діагоналей чотирикутника.

  • Д. Роббінс довів, що для будь-якого вписаного багатокутника з n сторонами величина (4 S) 2 є коренем деякого многочлена P , Коефіцієнти якого в свою чергу є многочленами від довжин сторін. Він знайшов ці многочлени для n = 5 і n = 6 . Іншими авторами встановлено, що многочлен P можна вибрати так, щоб його старший коефіцієнт був дорівнює одиниці, а ступінь N = N (n) дорівнювала Δ k , Якщо n = 2 k + 1 і k , Якщо n = 2 k + 2 . Тут
\ Delta_k = \ frac {2k +1} {2} C_ {2k} ^ k-2 ^ {2k-1} = \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} (kj) C_ {2k +1} ^ {j},

де

C_k ^ j = \ frac {k!} {j! (kj)!} = \ Frac {k (k-1) (k-2) \ dots (k-j +1)} {j (j-1) (j-2) \ dots \ cdot 2 \ cdot 1}

- Біноміальні коефіцієнти. Для багатокутників з невеликим числом сторін маємо Δ 1 = 1 , Δ 2 = 7 , Δ 3 = 38 , \ Delta_4 = 187, \ dots , І N (4) = 2 , N (5) = 7 , N (6) = 14 , N (7) = 38, \ dots


Популярна література


Наукова література

  • В. В. Варфоломєєв. Вписані багатокутники і поліноми Герона / / Мат.сборнік. 2003. Т. 194, № 3. С. 3-24.
  • M. Fedorchuk, I. Pak. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes / / Duke Math. J. 2005. V. 129, No. 2. P. 371-404.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема Брахмагупти
Формула-1
Формула
Формула-3
Формула Стірлінга
Хімічна формула
Барометрична формула
Емпірична формула
Формула Дирихле
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru