Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Формула Герона



Формула Герона дозволяє обчислити площа трикутника (S) по його сторонах a, b, c:

S = \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)},

де р - напівпериметр трикутника: p = \ frac {a + b + c} 2 .

Доказ
S = {1 \ over2} ab \ cdot \ sin {\ gamma} ,

де \ \ Gamma - Кут трикутника, протилежний стороні c . За теоремі косинусів :

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cdot \ cos \ gamma,

Звідси:

\ Cos \ gamma = {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 \ over 2ab},

Значить,

\ \ Sin ^ 2 \ gamma = 1 - \ cos ^ 2 \ gamma = (1 - \ cos \ gamma) (1 + \ cos \ gamma) =
= {{2ab-a ^ 2-b ^ 2 + c ^ 2} \ over 2ab} \ cdot {{2ab + a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} \ over 2ab} =
= {{C ^ 2 - (ab) ^ 2} \ over 2ab} \ cdot {{(a + b) ^ 2-c ^ 2} \ over 2ab} = {1 \ over 4a ^ 2b ^ 2} (c -a + b) (c + ab) (a + bc) (a + b + c) .

Помічаючи, що a + b + c = 2 p , a + b - c = 2 p - 2 c , a + c - b = 2 p - 2 b , c - a + ​​b = 2 p - 2 a , Отримуємо:

\ Sin \ gamma = {2 \ over ab} \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}.

Таким чином,

S = {1 \ over 2} ab \ sin \ gamma = \ sqrt {p (pa) (pb) (pc)},

ч.т.д.


Історія

Ця формула міститься в "Метриці" Герона Олександрійського (I ст. н. е..) і названа на його честь. Герон цікавився трикутниками з цілочисельними сторонами, площі яких також є цілими. Такі трикутники звуться героновой трикутників. Найпростішим героновой трикутником є єгипетський трикутник.

Варіації і узагальнення

де p = \ frac {a + b + c + d} 2 - Напівпериметр чотирикутника. (Трикутник є граничним випадком вписаного чотирикутника при устремлінні довжини однієї із сторін до нуля.)
Вона є окремим випадком визначника Келі - Менгера для обчислення гіпероб'ема симплекса.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ітераційна формула Герона
Формула
Формула-1
Формула-3
Емпірична формула
Хімічна формула
Барометрична формула
Формула Стірлінга
Рекурентна формула
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru