Формула Лейбніца

Формулою Лейбніца в інтегральному численні називається правило диференціювання під знаком інтеграла, залежного від параметра, межі якого залежать від змінної диференціювання. Формула названа на честь німецького математика Готфріда Лейбніца.


Формулювання

Нехай функція f (x, \; y)неперервна разом зі своєю першою похідною {\ Partial f (x, \; y) \ over \ partial y} на прямокутнику [\ Alpha, \; \ beta] \ times [c, \; d] (Відрізок [\ Alpha, \; \ beta] включає в себе безлічі значень a (y), \; b (y) \ ), A функції a (y), \; b (y) діфференцируєми на [C, \; d] . Тоді інтеграл I (y) = \ int \ limits_ {a (y)} ^ {b (y)} f (x, \; y) \, dx диференціюємо по y на [C, \; d] і справедливо рівність

I '(y) = \ int \ limits_ {a (y)} ^ {b (y)} {\ partial \ over \ partial y} f (x, \; y) \, dx + f (b (y) , \; y) {b '(y)} - f (a (y), \; y) {a' (y)}.

Випадок постійного межі інтеграції

Якщо межа інтегрування - певне число k , Підставляючи його в похідну, отримаємо, що одне з неінтегральних доданків звертається в нуль, тому що містить множення на похідну постійного числа, тобто множення на 0. Наприклад, для постійного верхньої межі маємо:

I '(y) = \ int \ limits_ {a (y)} ^ k {\ partial \ over \ partial y} f (x, \; y) \, dx - f (a (y), \; y) {a '(y)}.

Основна теорема аналізу Правити

Необхідно перенести в цю статтю вміст статті Теорема Ньютона-Лейбніца і поставити перенаправлення.

Розглянемо інтеграл від функції y = f (x) в межах від постійного числа a до числа x, яке будемо вважати змінним. Запишемо інтеграл в наступному вигляді: F (x) = \ int_a ^ xf (u) du (1)

Основна теорема аналізу свідчить, що

Похідна невизначеного інтеграла (1) за його верхньої межі x дорівнює значенню функції f (u) в точці u = x: F '(x) = f (x).

Іншими словами, процес інтегрування, ведучий від функції f (x) до функції F (x), "знищується" зворотним йому процесом диференціювання, застосовуваним до функції F (x).

Ця ж теорема може бути сформульована й іншим чином:

Функція F (x), яка є інтегралом від функції f (x) при постійному нижньому і змінному верхній межі x, є одна з первісних функцій від функції f (x).


Тут під первісної функції від функції f (x) розуміються такі функції G (x), для яких G '(x) = f (x).


Література

  • Ільїн В. А., Садовничий В. А., Сенді Бл. Х. Математичний аналіз. Ч.1. - 2-ге вид., Перероб. - М .: Изд-во МГУ, 1985. - 662 с.