Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Формула Планка



План:


Введення

Формула Планка - вираз для спектральної щільності потужності випромінювання абсолютно чорного тіла, яке було отримане Максом Планком. Для густини енергії випромінювання u (\ omega, T) :

u (\ omega, T) = \ frac {\ omega ^ 2} {\ pi ^ 2c ^ 3} \ frac {\ hbar \ omega} {e ^ {\ frac {\ hbar \ omega} {kT}} -1 }.

Формула Планка була отримана після того, як стало ясно, що формула Релея - Джинса задовільно описує випромінювання тільки в області довгих хвиль. Для виведення формули Планк в 1900 році зробив припущення про те, що електромагнітне випромінювання випускається у вигляді окремих порцій енергії (квантів), величина яких пов'язана з частотою випромінювання виразом:

\ Varepsilon = \ hbar \ omega.

Коефіцієнт пропорційності \ Hbar згодом назвали постійної Планка, \ Hbar = 1.054 10 -27 ерг с.


1. Висновок для абсолютно чорного тіла

Випромінювання абсолютно чорного тіла

Вираз для середньої енергії коливання з частотою ω дається виразом:

\ Overline {\ varepsilon} = \ frac {\ hbar \ omega} {\ mathrm {exp} (\ hbar \ omega / kT) -1}, \ qquad \ qquad (1)

де \ Hbar - постійна Планка, k - постійна Больцмана.


Кількість стоячих хвиль у тривимірному просторі одно:

\ Mathrm {d} n_ {\ omega} = \ frac {\ omega ^ 2 \ mathrm {d} \ omega} {\ pi ^ 2 c ^ 3} \ qquad \ qquad (2)

2. Перехід до формулами Релея-Джинса.

Формула Планка точно узгоджується з експериментальними даними у всьому інтервалі частот від 0 до \ Infty . При малих частотах (великих довжинах хвиль), коли \ Hbar \ omega / kT \ ll 1 можна розкласти експоненту по \ Hbar \ omega / kT . В результаті отримаємо, що \ Mathrm {exp} (\ hbar \ omega / kT) -1 \ approx 1 + \ hbar \ omega / kT -1 = \ hbar \ omega / kT , Тоді (3) і (4) переходять у формулу Релея-Джинса.

u (\ omega, T) = kT \ frac {\ omega ^ 2} {\ pi ^ 2 c ^ 3} і
f (\ omega, T) = kT \ frac {\ omega ^ 2} {4 \ pi ^ 2 c ^ 2}

3. Перехід до законом Стефана - Больцмана.

Енергетична світність дорівнює площі, обмеженої графіком функції f (ω, Т)

Для енергетичної світності слід записати інтеграл:

R = \ int_0 ^ {\ infty} f (\ omega, T) \ mathrm {d} \ omega = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ hbar \ omega ^ 3} {4 \ pi ^ 2 c ^ 2 } \ cdot \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {exp} (\ hbar \ omega / kT) -1}

Введемо змінну x = \ hbar \ omega / kT , Тоді \ Omega = (kT / \ hbar) x , \ Mathrm {d} \ omega = (kT / \ hbar) \ mathrm {d} x , Отримаємо

R = \ frac {\ hbar} {4 \ pi ^ 2 c ^ 2} \ cdot \ left (\ frac {kT} {\ hbar} \ right) ^ 4 \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ 3 \ mathrm {d} \ mathrm {x}} {\ mathrm {e} ^ x -1}.

Отриманий інтеграл має точне значення: ~ \ Pi ^ 4/15 , Підставивши його отримаємо відомий закон Стефана - Больцмана:

R = \ frac {\ pi ^ 2 k ^ 4} {60 c ^ 2 \ hbar ^ 3} T ^ 4 = \ sigma T ^ 4

Підстановка чисельних значень констант дає значення для \ Sigma = 5,6704 \ cdot 10 ^ {-8} Вт / (м ^ 2\ CdotK ^ 4 ), Що добре узгоджується з експериментом.


4. Перехід до законом зміщення Віна

Для знаходження закону, за яким відбувається зміщення максимуму φ (λ, Т) в залежності від температури, треба досліджувати функцію φ (λ, Т) на максимум.

Для переходу до закону Вина, необхідно продиференціювати вираз (5) по \ Lambda і прирівняти нулю (пошук екстремуму):

\ Frac {\ mathrm {d} \ varphi (\ lambda, T)} {\ mathrm {d} \ lambda} = \ frac {4 \ pi ^ 2 \ hbar c ^ 2 \ left \ {\ frac {2 \ pi \ hbar c} {k T \ lambda} \ mathrm {exp} \ left (\ frac {2 \ pi \ hbar c} {k T \ lambda} \ right) - 5 \ left [\ mathrm {exp} \ left ( \ frac {2 \ pi \ hbar c} {k T \ lambda} \ right) -1 \ right] \ right \}} {\ lambda ^ 6 \ left [\ mathrm {exp} \ left (\ frac {2 \ pi \ hbar c} {k T \ lambda} \ right) -1 \ right] ^ 2} = 0 .

Значення \ Lambda_m , При якому функція досягає максимуму, звертає в нуль вираз, що стоїть у фігурних дужках. Позначимо \ Frac {2 \ pi \ hbar c} {k T \ lambda_m} = x , Вийде рівняння:

~ Xe ^ x-5 (e ^ x-1) = 0 .

Рішення такого рівняння дає x = 4.965. Отже \ Frac {2 \ pi \ hbar c} {k T \ lambda_m} = 4,965 , Звідси негайно виходить:

T \ lambda_m = \ frac {2 \ pi \ hbar c} {4.965 k} = b .

Чисельна підстановка констант дає значення для b = 0,0028999 К м, що збігається з експериментом, а також зручну наближену формулу \ Lambda_ {\ max} T \ approx 3000 \ quad мкм К. Так, сонячна поверхня має максимум інтенсивності в зеленій області (0,5 мкм), що відповідає температурі близько 6000 К.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Планка довжина
Планка температура
Планка щільність
Постійна Планка
Планка епоха
Гіпотеза Планка
Планка чорна діра
Товариство Макса Планка
Рівняння Фоккера - Планка
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru