Формула Тейлора - Пеано Нехай f: \ mathbb C \ to \ mathbb C , z_0 - Гранична точка безлічі D_f і z_0 \ in D_f . Якщо функція fn -Дифференцируема в сенсі Ферма - Лагранжа в точці z_0 , То справедлива формула Тейлора - Пеано

f (z) = \ sum \ limits_ {{\ rm {k = 0}}} ^ {\ rm {n}} \ frac {f ^ {(k)} (z_0) (z - z_0) ^ k} { k!} + \ varepsilon_n (z) (z - z_0) ^ n, \ forall z \ in D_f

де ε n (z) - безперервна в точці z 0 функція і ε n (z 0) = 0. Застосуємо метод математичної індукції. Якщо n = 0, то твердження очевидне при ε n (z) = f (z)-f (z 0). Припустимо, що твердження теореми справедливо після заміни n на n-1 і що функція f n-дифференцируема в сенсі Ферма-Лагранжа в точці z 0. Згідно з визначенням, існує така n-1 дифференцируемая в сенсі Ферма-Лагранжа в точці z 0 функція φ, що ∀ z ∈ D f,

{\ Rm {f (z) - f (z}} _ {\ rm {0}} {\ rm {) = (z - z}} _ {\ rm {0}} {\ rm {)}} \ varphi {\ rm {(z) (2)}}

За припущенням

\ Varphi {\ rm {(z) =}} \ sum \ limits_ {{\ rm {k = 0}}} ^ {\ rm {n}} {\ varphi ^ {{\ rm {(k)}}} (z_0) {{(z - z_0) ^ k} \ over {k!}}} + \ varepsilon _ {n - 1} (z) (z - z_0) ^ {n - 1}, (3)

де \ Varepsilon _ {n - 1} (z) - Безперервна в точці z 0 функція і \ Varepsilon _ {n - 1} (z_0) = 0 . З рівностей (2) і (3) отримуємо:

{\ Rm {f (z) = f}} (z_0) + (z - z_0) (\ sum \ limits_ {{\ rm {k = 0}}} ^ {\ rm {n}} {{\ rm { f}} ^ {{\ rm {(k)}}} (z_0) {{(z - z_0) ^ k} \ over {k!}}} + \ varepsilon _n (z) (z - z_0) ^ n ) = {\ rm {f}} (z_0) + \ sum \ limits_ {{\ rm {k = 0}}} ^ {\ rm {n}} {{{{\ rm {f}} ^ {{\ rm {(k + 1)}}} (z_0)} \ over {k + 1}} {{(z - z_0) ^ {k + 1}} \ over {k!}}} + \ varepsilon _ {n - 1} (z) (z - z_0) ^ n,

Що рівносильно формулою (1) при \ Varepsilon _n = \ varepsilon _ {n - 1}


Література

А.К.Боярчук "Функції комплексної змінної: теорія і практика" Довідковий посібник з вищої математики. Т.4 М.: Едіторіал УРСС, 2001. - 352с.