Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Функціональний аналіз



План:


Введення

Функціональний аналіз - розділ вищої математики, в якому вивчаються безконечномірні топологічні векторні простори (в основному простору функцій [1]) та їх відображення.

Основні розділи класичного функціонального аналізу - це теорія міри та інтеграла, теорія функцій, теорія операторів, диференціальне числення на нескінченновимірних просторах. У другій половині 20 століття функціональний аналіз поповнився цілою низкою більш спеціальних розділів, побудованих на базі класичних.

Функціональний аналіз знаходить застосування в багатьох точних науках; багато найважливіші теоретичні конструкції описані мовою функціонального аналізу. Зокрема, на початку 21 століття функціональний аналіз широко застосовується в теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, теоретичної фізики (див. квантова механіка, теорія струн), теорії управління і оптимізації, теорії ймовірностей, математичної статистики, теорії випадкових процесів і інших областях. Теорія перетворення Фур'є, що використовується в багатьох галузях науки і техніки (наприклад, в теорії обробки зображень), також є частиною функціонального аналізу.

Образно функціональний аналіз природно розглядати як узагальнення з'єднаних разом лінійної алгебри і математичного аналізу.


1. Деякі поняття функціонального аналізу

Наприклад - простору безперервних функцій, простору інтегровних функцій. Важливу роль відіграють такі поняття, як міра, метрика, норма, скалярний твір. Для розгляду відображень просторів вводяться такі терміни, як " оператор "та" функціонал ".


2. Історія

Розвиток функціонального аналізу пов'язано з вивченням перетворення Фур'є, диференціальних та інтегральних рівнянь. Великий внесок у розвиток і становлення функціонального аналізу вніс польський математик Стефан Банах.

Вивчення представлення функцій за допомогою перетворення Фур'є було привабливо, наприклад, тому, що для певних класів функцій можна континуальний набір точок (значення функції) охарактеризувати рахунковим набором значень (набором коефіцієнтів).

Методи функціонального аналізу швидко набули популярності в різних областях математики і фізики в якості потужного інструменту. Значну роль при цьому відіграла теорія лінійних операторів :

Функціональний аналіз за останні два десятиліття настільки розрісся, настільки широко і глибоко проник майже в усі області математики, що зараз навіть важко визначити самий предмет цієї дисципліни. Однак у функціональному аналізі є кілька великих "традиційних" напрямків, які й понині в значній мірі визначають його обличчя. До їх числа належить і теорія лінійних операторів, яку іноді називають становим хребтом функціонального аналізу.

Саме через теорію операторів функціональний аналіз зіткнувся з квантовою механікою, диференціальними рівняннями, теорією ймовірності, а також низкою прикладних дисциплін.

Костюченко А. Г., передмова редактора перекладу до книги [2] 1962

В кінці 90-x років XX ст. в скарбничку функціонального аналізу додалася тема, присвячена вейвлет -перетворень. Ця тема прийшла з практики як спроба побудов нових базисів функціональних просторів, що володіють додатковими властивостями, наприклад, хорошою швидкістю збіжності наближень. Вклад у розвиток внесла І. Добеші.

Числові функції на просторах функцій називають функціоналами. Можливо, з цією обставиною пов'язане виникнення терміна "функціональний аналіз". Так, у класичній механіці для знаходження траєкторії руху частки потрібно досліджувати на мінімум функціонал дії, для чого його доводиться диференціювати; а оскільки під терміном "аналіз" в математиці розуміється інтегральне і диференціальне числення, то природно припустити, що знаходження екстремал функціоналу дії - одна з найперших завдань, що дали функціонального аналізу його ім'я.


3. Ключові результати


4. Напрямок досліджень

Функціональний аналіз у його сучасному стані включає наступні тенденції:

  • М'який аналіз. Апроксимація для аналізу, заснованого на топологічних групах, топологічних кільцях і топологічних векторних просторах.
  • Геометрія банахових просторів.
  • Некомутативних геометрія. Розроблена Аленом Кінному, частково побудована на більш ранніх уявленнях, таких як апроксимація Джоржа Маккі (George Mackey) в ергодічеськой теорії.
  • Зв'язок з квантовою механікою. Також більш вузько визначена як в математичній фізиці, або витлумачене більш загально, наприклад Гельфандом, включається в більш типову теорію зображень.
  • Квантовий функціональний аналіз Дослідження просторів операторів, замість просторів функцій.
  • Нелінійний функціональний аналіз. Дослідження нелінійних задач, біфуркацій, стійкості гладких відображень, деформацій особливостей, та ін в рамках функціонального аналізу.

Примітки

  1. Насправді, будь-лінійний простір, у тому числі і конечномерное, може бути реалізовано як простір функцій. Зробити це можна кількома способами. Наприклад, лінійний простір лінійно ізоморфно безлічі функцій на базисі Гамель цього простору (або будь-якого рівнопотужних йому безлічі), відмінних від нуля лише на кінцевому числі крапок. Інший варіант: вкладемо лінійний простір V в його друге алгебраїчно поєднане, тобто в простір всіх лінійних функціоналів над простором всіх лінійних функціоналів над V.
  2. Данфорд Н., Шварц Дж. Лінійні оператори - М. : ІЛ, 1962. - Т. 1.Загальна теорія. - С. 5-6.

Література

  • Банах С. Теорія лінійних операцій. К.: НДЦ "Регулярна і хаотична динаміка", 2001. ISBN 5-93972-031-5.
  • Богачов В. І., Смолянов О. Г. Дійсний і функціональний аналіз. Університетський курс. НІЦ "Регулярна і хаотична динаміка", Інститут комп'ютерних досліджень, 2009 р. 724 стор ISBN 978-5-93972-742-6.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Лінійні оператори. Т. I: Загальна теорія. - М.: ІЛ, 1962.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Лінійні оператори. Т. II: Спектральна теорія. - М.: Мир, 1966.
  • Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Лінійні оператори. Т. III: Спектральні оператори. - М.: Мир, 1974.
  • Іосіда К. Функціональний аналіз. Пер. з англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
  • Канторович Л. В., Акілов Г. П. Функціональний аналіз. М.: Наука, 1984.
  • Колмогоров А. Н., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу - вид. четверте, перероблене. - М .: Наука, 1976. - 544 с.
  • Люстерник Л. А., В. І. Соболєв. Елементи функціонального аналізу, 2-е вид. М.: Наука, 1965. 520 c.
  • Ніренберг Л. Лекції з нелінійного функціонального аналізу. М.: Мир, 1977. - 232с.
  • Про виникнення і розвитку функціонального аналізу. СБ статей. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1973. - № 18. - С. 13-103.
  • Пугачов В. С. Лекції з функціонального аналізу. М.: Изд-во МАІ, 1996. - 744с.
  • Рід М., Саймон Б. Методи сучасної математичної фізики. Том 1. Функціональний аналіз. М.: Мир, 1977. 358 c.
  • Рудін В. Функціональний аналіз. М.: Мир, 1975.
  • Треногін В. А. Функціональний аналіз - М .: Наука, 1980. - 496 с.
  • Функціональний аналіз / редактор Крейн С. Г. - 2-е, перероблене і доповнене. - М .: Наука, 1972. - 544 с. - (Довідкова математична бібліотека).
  • Хелемський A. Я. Лекції з функціонального аналізу. М.: МЦНМО, 2009. - 304с.
  • Хелемський A. Я. Квантовий функціональний аналіз у бескоордінатном викладі. М.: МЦНМО, 2004. - 552с.
  • Хіллі Е., Філіпс Р. Функціональний аналіз і напівгрупи. М.: ІЛ, 1962. 830 з.
Портал "Наука"
Портал "Математика" | Категорія "Математика"

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Функціональний інтеграл
Функціональний ряд
Функціональний стиль мовлення
Аналіз
Частотний аналіз
Коваріаційний аналіз
Рентгеноструктурний аналіз
Фінансовий аналіз
Бізнес-аналіз
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru