Послідовність функцій, які в незаштрихованими області сходяться до натуральному логарифму (червоний). В даному випадку - це N-я часткова сума степеневого ряду, де N вказує на число доданків.

Функціональний ряд - ряд, кожним членом якого, на відміну від числового ряду, є не число, а функція \ {U_k} (x) .


1. Функціональна послідовність

Нехай задана послідовність комплекснозначних функцій на безлічі \ E , Включеному в d-мірний евклідів простір \ \ Mathbb {R} ^ d .

\ {U_k} (x): E \ mapsto \ mathbb {C}, ~ ~ E \ subseteq \ mathbb {R} ^ d, ~ ~ k \ in \ mathbb {N}

1.1. Поточечной збіжність

Функціональна послідовність \ {U_k} (x) сходиться поточечно до функції \ {U} (x) , Якщо \ Forall x \ in E \; \; \; \ exists \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ {u_k} (x) = \ {u} (x) .

1.2. Рівномірна збіжність

Існує функція \ U (x): E \ mapsto \ mathbb {C} така, що: \ \ Sup \ mid {u_k} (x) - u (x) \ mid \ stackrel {k \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow} 0, ~ ~ x \ in E

Факт рівномірної збіжності послідовності \ {U_k} (x) до функції \ U (x) записується: \ {U_k} (x) \ rightrightarrows u (x)


2. Функціональний ряд

\ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x)

\ {S_n} (x) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {u_k} (x) - N-ная часткова сума.

2.1. Збіжність

Ряд називається збіжним поточечно, якщо послідовність \ {S_n} (x) його часткових сум сходиться поточечно.

Ряд називається збіжним рівномірно, якщо послідовність \ {S_n} (x) його часткових сум сходиться рівномірно.

2.1.1. Необхідна умова рівномірної збіжності

\ {U_k} (x) \ rightrightarrows 0

2.1.2. Критерій Коші рівномірної збіжності

Критерій Коші для послідовності \ {S_n} (x) . Щоб послідовність функцій \ {F_n} (x) , Визначених на множині V , Рівномірно сходилася на цій множині, необхідно і достатньо, щоб для всякого \ Varepsilon> 0 існував номер N = N (\ varepsilon) , Такий, що при всіх n, m більше або рівних N , Одночасно для всіх x \ in V виконувалася нерівність \ \ Left | {f_n} (x) - \ {f_m} (x) \ right | <\ varepsilon


2.2. Абсолютна і умовна збіжність

Ряд \ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) називається абсолютно збіжним, якщо \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mid {u_k} (x) \ mid сходиться. Абсолютно сходитися ряд сходиться.

Якщо ряд \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) сходиться, а \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mid {u_k} (x) \ mid розходиться, то ряд \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) називається збіжним умовно. Для таких рядів вірна теорема Рімана про перестановку членів умовно сходящегося ряду.


2.3. Ознаки рівномірної збіжності

2.3.1. Ознака порівняння

Ряд \ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) сходиться абсолютно і рівномірно, якщо виконані умови:

  1. Ряд \ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {v_k} (x) сходиться рівномірно.
  2. \ \ Mid {u_k} (x) \ mid <{v_k} (x), ~ \ forall x \ in E, ~ \ forall k \ in \ mathbb {N}

Окремим випадком є ознака Вейєрштрасса, коли \ {V_k} (x) = a_k . Таким чином, функціональний ряд обмежується звичайним. Від нього вимагається звичайна збіжність


2.3.2. Ознака Діріхле

Ряд \ Sum_ {k = 1} ^ \ infty {{a_k} (x)} {{u_k} (x)} сходиться рівномірно, якщо виконані наступні умови:

  1. Послідовність действітельнозначних функцій \ {A_k} (x) монотонна \ \ Forall x \ in E і \ {A_k} (x) \ rightrightarrows 0
  2. Часткові суми \ {S_n} (x) ряду \ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x)рівномірно обмежені.

2.3.3. Ознака Абеля

Ряд \ Sum_ {k = 1} ^ \ infty {{a_k} (x)} {{u_k} (x)} сходиться рівномірно, якщо виконані наступні умови:

  1. Послідовність действітельнозначних функцій \ {A_k} (x) рівномірно обмежена і монотонна \ \ Forall x \ in E .
  2. Ряд \ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) рівномірно сходиться.

3. Властивості рівномірно збіжних послідовностей і рядів

3.1. Теореми про безперервності

Розглядаються комплекснозначних функції на множині \ E

Послідовність безперервних в точці функцій сходиться до функції, неперервної в цій точці.

Послідовність \ {U_k} (x) \ rightrightarrows u (x)
\ \ Forall k: функція \ {U_k} (x) неперервна в точці \ X_0
Тоді \ U (x) неперервна в \ X_0 .

Ряд безперервних в точці функцій сходиться до функції, неперервної в цій точці.

Ряд \ \ Sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {u_k} (x) \ rightrightarrows S (x)
\ \ Forall k: функція \ {U_k} (x) неперервна в точці \ X_0
Тоді \ S (x) неперервна в \ X_0 .

3.2. Теореми про інтегрування

Розглядаються действітельнозначние функції на відрізку дійсної осі.

Теорема про перехід до межі під знаком інтеграла.

\ \ Forall k: функція \ {U_k} (x) неперервна на відрізку \ [A, b]
\ {U_k} (x) \ rightrightarrows u (x) на \ [A, b]
Тоді \ \ Int \ limits_ {a} ^ {x} {u_k} (x) dx \ rightrightarrows \ int \ limits_ {a} ^ {x} u (x) dx ~, ~ ~ \ forall x \ in [a, b ]

Теорема про почленного інтеграції.

\ \ Forall k: функція \ {U_k} (x) неперервна на відрізку \ [A, b]
\ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) \ rightrightarrows S (x) на \ [A, b]
Тоді \ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ int \ limits_ {a} ^ {x} {u_k} (x) dx \ rightrightarrows \ int \ limits_ {a} ^ {x} S (x) dx ~ , ~ ~ \ forall x \ in [a, b]

3.3. Теореми про диференціюванні

Розглядаються действітельнозначние функції на відрізку дійсної осі.

Теорема про диференціюванні під межею.

\ \ Forall k: функція \ {U_k} (x) безупинно дифференцируема на відрізку \ [A, b]
\ \ Exist c \ in [a, b]: ~ u_k (c) сходиться
\ {U'_k} (x) \ rightrightarrows \ omega (x) на відрізку \ [A, b]
Тоді \ \ Exist u (x): ~ {u_k} (x) \ rightrightarrows u (x), ~ u (x) - Безупинно дифференцируема на \ [A, b] , \ U '(x) = \ omega (x) на \ [A, b]

Теорема про почленно диференціюванні.

\ \ Forall k: функція \ {U_k} (x) безупинно дифференцируема на відрізку \ [A, b]
\ \ Exist c \ in [a, b]: ~ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} u_k (c) сходиться
\ \ Sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u'_k} (x) рівномірно сходиться на відрізку \ [A, b]
Тоді \ \ Exist S (x): ~ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u_k} (x) \ rightrightarrows S (x), ~ S (x) - Безупинно дифференцируема на \ [A, b] , \ S '(x) = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} {u'_k} (x) на \ [A, b]