Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Функція Гріна



План:


Введення

Функція Гріна використовується для вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь з граничними умовами (неоднорідна крайова задача).

Функцію Гріна можна представити як зворотний оператор до L . Тому її нерідко символічно позначають як L ^ {-1} .


Функції Гріна корисні в електростатиці - для вирішення рівняння Пуассона; в теорії конденсованих середовищ - де вони дозволяють вирішити рівняння дифузії (і збігається з ним рівняння теплопровідності); в квантовій механіці - де функція Гріна гамільтоніана є однією з ключових концепцій і має відношення до щільності станів. Функції Гріна, використовувані в цих областях, дуже схожі, оскільки математична структура рівняння дифузії і рівняння Шредінгера подібні. Всі області математичної та теоретичної фізики, де вкрай корисні функції Гріна, мабуть важко навіть перелічити. Вони допомагають знаходити стаціонарні і нестаціонарні рішення, в тому числі при різноманітних граничних умовах, і т. д.

В фізиці елементарних частинок і статистичній фізиці функції Гріна використовуються як пропагатор в діаграмах Фейнмана (і вираз "функція Гріна" часто застосовується взагалі до кореляційної функції в квантової теорії поля). Функція Гріна широко застосовується в додатках теорії розсіювання до фізики твердого тіла ( рентгенографія, розрахунки електронних спектрів металевих матеріалів).

Функція Гріна названа на честь англійського математика Джорджа Гріна ( англ. George Green ), Який першим розвинув відповідну теорію в 1830-х рр..


1. Визначення і використання

Функція Гріна, G (x, s), лінійного диференціального оператора L = L (x) діючого на узагальнених функціях на підмножині евклідового простору R n, в точці s, це будь-яке рішення рівняння

L ~ G (x, s) = \ delta (x-s)

(1)

де \ \ Delta - Це дельта функція Дірака. Це властивість функції Гріна може використовуватися для вирішення диференціального рівняння виду

L ~ u (x) = f (x)

(2)

Якщо ядро L нетривіально, то функція Гріна не єдина. Однак, на практиці, використання симетрії, граничних умов і / або інших сторонніх критеріїв дозволяє визначити конкретну функцію Гріна. Слід пам'ятати, що взагалі кажучи функція Гріна - не звичайна, а узагальнена функція, тобто, іншими словами, в деяких випадках вона може випадати з класу звичайних функцій, наприклад, мати особливості виду дельта-функції або її похідних.

Функція Гріна - це також корисний інструмент для вирішення хвильового рівняння, рівняння дифузії, і квантовомеханічних рівнянь, де функція Гріна оператора Гамільтона є ключовою концепцією, пов'язаної з щільністю станів. У фізиці функція Гріна зазвичай визначається з протилежним знаком, тобто

L ~ G (x, s) = - \ delta (x-s) \,,

що не змінює істотно її властивості.

Якщо оператор трансляційного інваріантний, тобто якщо L має постійні коефіцієнти по відношенню до x, то функція Гріна може бути вибрана у вигляді конволюціонного оператора

G (x, s) = G (x-s) \,

У такому випадку вона співпадає з імпульсної перехідної функцією з теорії лінійних стаціонарних систем.


2. Зауваження

Іноді, коли неоднорідне рівняння містить в правій частині постійний коефіцієнт, тобто має вигляд ~ Lf = \ kappa h , Функція Гріна ~ G (x, s) також визначається з урахуванням цього коефіцієнта, тобто, за визначенням тоді вона є рішення рівняння [1]

L f_1 (x) = \ kappa \, \ delta (x - s) .

У цьому випадку рішення вихідного неоднорідного рівняння ~ Lf = \ kappa h з довільною функцією ~ H в правій частині записується як

f (x) = \ int {\ kappa \, h (s) \, g (x, s) \, ds} .
  1. Ясно, що описаний у цьому розділі відмінність у визначенні функції Гріна від даного в статті вище, стосується не суті справи, а всього лише предпочитаемой форми запису

3. Функція Гріна оператора Штурма - Ліувілля (одновимірний випадок)

3.1. Постановка завдання

Нехай \! L - оператор Штурма - Ліувілля, лінійний диференційний оператор виду

L = {d \ over dx} \ left [p (x) {d \ over dx} \ right] + q (x)

і нехай \! D - Оператор крайових умов

Du = \ left \ {\ begin {matrix} \ alpha_1 u ^ \ prime (0) + \ beta_1 u (0), \ \ \ alpha_2 u ^ \ prime (l) + \ beta_2 u (l). \ End { matrix} \ right.

Нехай \! f (x) - безперервна функція на проміжку [0, \; l] . Припустимо також, що завдання

\ Begin {matrix} Lu = f, \ \ Du = 0 \ end {matrix}

регулярна, тобто існує тільки тривіальне рішення однорідної задачі.


3.2. Теорема Гріна

Тоді існує єдине рішення \! u (x) , Що задовольняє системі

\ Begin {matrix} Lu = f, \ \ Du = 0, \ end {matrix}

яке задається виразом

u (x) = \ int \ limits_0 ^ l f (s) g (x, \; s) \, ds ,

де g (x, \; s) - Функція Гріна, яка задовольняє наступним вимогам:

  1. g (x, \; s) неперервна по \! x і \! s .
  2. Для x \ ne s , Lg (x, \; s) = 0 .
  3. Для s \ ne 0, \; l , Dg (x, \; s) = 0 .
  4. Стрибок похідної: g ^ \ prime (s_ {+0}, \; s)-g ^ \ prime (s_ {-0}, \; s) = 1 / p (s) .
  5. Симетрична: g (x, \; s) = g (s, \; x) .

4. Знаходження функції Гріна

4.1. У вигляді ряду через власні функції оператора

Якщо безліч власних векторів (власних функцій) ~ \ Psi_n диференціального оператора L \

(Тобто набір функцій ~ \ Psi_n (x) , Таких, що для кожної знайдеться число ~ \ Lambda_n \ ne 0 , Що ~ L \ Psi_n = \ lambda_n \ Psi_n )

повно, то можна побудувати функцію Гріна за допомогою власних векторів ~ \ Psi_n і власних значень ~ \ Lambda_n .

Під повнотою системи функцій ~ \ Psi_n (x) мається на увазі виконання співвідношення:

\ Delta (xx ^ \ prime) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ Psi_n (x) \ bar \ Psi_n (x ^ \ prime) .

Можна показати, що

G (x, \; x ^ \ prime) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {\ Psi_n (x) \ bar \ Psi_n (x ^ \ prime)} {\ lambda_n} .

Дійсно, подіяло оператором ~ L на цю суму, ми отримаємо дельта-функцію (в силу співвідношення повноти).

(Рисою зверху позначено комплексне спряження, якщо ~ \ Psi_n - Речові функції, його можна не робити).


5. Функція Гріна для Лапласіан

Функція Гріна для Лапласіан може бути легко отримана з теореми Гріна.

Для отримання теореми Гріна, почнемо з закону Гаусса:

\ Int \ limits_V \ nabla \ cdot \ hat A \ dV = \ int \ limits_S \ hat A \ cdot d \ hat \ sigma .

Припустимо A = \ varphi \ nabla \ psi-\ psi \ nabla \ varphi і підставимо в закон Гаусса. Обчислимо \ Nabla \ cdot \ hat A і застосуємо ланцюгове правило для \ Nabla оператора:

\ Nabla \ cdot \ hat A = \ nabla \ cdot (\ varphi \ nabla \ psi-\ psi \ nabla \ varphi) =
.

Підставляючи результат в теорему Гаусса, ми отримуємо теорему Гріна:

\ Int \ limits_V \ varphi \ nabla ^ 2 \ psi-\ psi \ nabla ^ 2 \ varphi \ dV = \ int \ limits_S \ varphi \ nabla \ psi-\ psi \ nabla \ varphi \ cdot d \ hat \ sigma .

Припускаючи, що наш лінійний диференціальний оператор LЛапласіан, \ Nabla ^ 2 , І те, що у нас є для нього функція Гріна G . Визначення функції Гріна в цьому випадку запишеться у вигляді:

LG (x, \; x ^ \ prime) = \ nabla ^ 2G (x, \; x ^ \ prime) = \ delta (xx ^ \ prime) .

Покладемо \ Psi = G в теоремі Гріна. Тоді отримаємо:

\ Int \ limits_V \ varphi (x ^ \ prime) \ delta (xx ^ \ prime)-G (x, \; x ^ \ prime) \ nabla ^ 2 \ varphi (x ^ \ prime) \ d ^ 3x ^ \ prime =
= \ Int \ limits_S \ varphi (x ^ \ prime) \ nabla ^ \ prime G (x, \; x ^ \ prime)-G (x, \; x ^ \ prime) \ nabla ^ \ prime \ varphi (x ^ \ prime) \ cdot d \ hat \ sigma ^ \ prime .

Використовуючи вираз, ми можемо вирішити рівняння Лапласа ( \ Nabla ^ 2 \ varphi (x) = 0 ) І рівняння Пуассона (( \ Nabla ^ 2 \ varphi (x) = -4 \ pi \ rho (x) ) З граничними умовами Неймана або Діріхле. Іншими словами, ми можемо знайти рішення \ Varphi (x) всюди всередині заданої області, якщо (1) значення \ Varphi (x) задано на кордоні цієї області (граничні умови Діріхле), або (2) нормальна похідна \ Varphi (x) задана на кордоні цієї області (граничні умови Неймана).

Нехай нас цікавить вирішення \ Varphi (x) всередині області. У цьому випадку інтеграл \ Int \ limits_V \ varphi (x ^ \ prime) \ delta (xx ^ \ prime) \ d ^ 3x ^ \ prime спрощується до \ Varphi (x) в силу основного властивості дельта-функції, і ми маємо:

\ Varphi (x) = \ int \ limits_V G (x, \; x ^ \ prime) \ rho (x ^ \ prime) \ d ^ 3x ^ \ prime + \ int \ limits_S \ varphi (x ^ \ prime) \ nabla ^ \ prime G (x, \; x ^ \ prime)-G (x, \; x ^ \ prime) \ nabla ^ \ prime \ varphi (x ^ \ prime) \ cdot d \ hat \ sigma ^ \ prime .

Ця формула виражає відоме властивість гармонічних функцій, яке у тому, що якщо відомо значення нормальної похідної на кордоні області, то відомі і всі значення функції в будь-якій внутрішній точці цієї області.

В електростатиці \ Varphi (x) розуміється як електростатичний потенціал, \ Rho (x) як щільність електричного заряду, а нормальна похідна \ Nabla \ varphi (x ^ \ prime) \ cdot d \ hat \ sigma ^ \ prime як нормальна складова електричного поля.

При вирішенні крайової задачі Діріхле функція Гріна вибирається у вигляді G (x, \; x ^ \ prime) . Ця функція звертається в нуль, коли x або x ^ \ prime знаходиться на межі розділу; і навпаки, вирішуючи крайову задачу Ньюмана, слід вибирати функцію Гріна так, щоб на поверхні зверталася в нуль її нормальна похідна. Таким чином в інтегралі по поверхні залишається тільки одне з двох доданків.

За відсутності граничних умов функція Гріна для Лапласіан має вигляд:

G (\ hat x, \; \ hat x ^ \ prime) = \ frac {1} {\ left | \ hat x-\ hat x ^ \ prime \ right |} .

Вважаючи граничну поверхню нескінченно великою і підставляючи в це вираз функцію Гріна, ми прийдемо до аналогічного висловом для електричного потенціалу через електричну щільність заряду.

\ Varphi (x) = \ int \ limits_V \ frac {\ rho (x ^ \ prime)} {\ left | \ hat x-\ hat x ^ \ prime \ right |} \ d ^ 3x ^ \ prime .

6. Приклад

(Цей приклад служить ілюстрацією до параграфу Функція Гріна оператора Штурма - Ліувілля (одновимірний випадок), причому описані тут міркування ілюструють пункти теореми з відповідного параграфа, посилання на пункти якої присутні в тексті нижче).

Дана задача

\ Begin {matrix} Lu \ end {matrix} = u ^ {\ prime \ prime} + u = f (x) ;
u (0) = 0, \ quad u \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 0 .

Знайти функцію Гріна.

Перший крок: Функція Гріна ~ G (x, s) в даному випадку за визначенням має бути рішенням рівняння

g ^ {\ prime \ prime} + g = \ delta (x - s)

(3)

де двома штрихами позначена друга похідна по x .

Для x \ ne s , Де \ Delta -Функція дорівнює нулю, це рівняння зводиться до однорідного (пункт 2 згаданої теореми):

g ^ {\ prime \ prime} + g = 0 ,

тобто для всіх точок, крім s , Функція Гріна буде вирішенням такого однорідного рівняння.

Загальне рішення такого рівняння

~ G = A \ cos x + B \ sin x ,

де ~ A і ~ B - Константи (не залежать від ~ X ).

Таким чином, ~ G (x, s) повинно мати саме такий вигляд всюди, крім точки ~ S , Причому ліворуч і праворуч від неї коефіцієнти ~ A і ~ B можуть (і будуть) мати різне значення.

Накладемо на функцію Гріна граничні умови, що збігаються з граничними умовами вихідної задачі (пункт 3 згаданої у вступному зауваженні теореми). Функція Гріна з накладеними так граничними умовами зручна тим, що конструюються підсумовуванням або інтегруванням таких функцій Гріна рішення автоматично будуть задовольняти цим граничним умовам.

З лівого граничної умови: ~ U (0) = 0 - Накладається на функцію Гріна ми бачимо, що для ~ X <s коефіцієнт ~ A спільного рішення повинен бути нулем, тобто для ~ X <s

g (x, \; s) = B \ cdot \ sin x .

Точно так само з правого граничного умови: ~ U \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 0 - Отримуємо рівність нулю коефіцієнта ~ B , Тобто для ~ X> s

g (x, \; s) = A \ cdot \ cos x .

У підсумку, враховуючи, що коефіцієнти A і B взагалі кажучи можуть залежати від s , Можемо записати:

g (x, \; s) = \ left \ {\ begin {matrix} B (s) \ sin x, \; \; x <s \ \ A (s) \ cos x, \; \; s <x \ end {matrix} \ right.

Другий крок:

Потрібно визначити ~ A (s) і ~ B (s) .

Проінтегрувавши двічі ліву і праву частину рівняння (3) з дельта-функцією в правій частині, ми побачимо, що функція Гріна повинна бути безперервна (пункт 1 згаданої теореми), а звідси умова зшивання рішення x <s і x> s :

~ B (s) \ sin s = A (s) \ cos s .

Проінтегрувавши ж ліву і праву частину того ж рівняння від x = s-\ varepsilon до x = s + \ varepsilon отримаємо умову на стрибок першої похідної (пункт 4 теореми), і використовуючи його, отримаємо:

g '(s_ {+0}, s) - g' (s_ {-0}, s) =-A (s) \ cdot \ sin s-B (s) \ cdot \ cos s = 1 .

Використовуючи правило Крамера або просто вгадуючи рішення системи з двох цих рівнянь, одержимо, що

A (s) = - \ sin s; \ quad B (s) = - \ cos s .

Ці вирази задовольняють умові пункту 5 теореми.

Тоді функція Гріна задачі:

g (x, \; s) = \ left \ {\ begin {matrix} -1 \ cdot \ cos s \ cdot \ sin x, \; \; x <s \ \ -1 \ cdot \ sin s \ cdot \ cos x, \; \; s <x \ end {matrix} \ right.

7. Інші приклади

  • Нехай дано безліч \ Mathbb R і оператор \ L дорівнює \ D / dx . Тоді функція Хевісайда \ H (x-x_0) є функцією Гріна для \ L при \ X_0 .
  • Нехай різноманіття задається першою чвертю площині {(X, \; y): \; x, \; y \ geqslant 0} і \ L - Оператор Лапласа. Також припустимо, що при \ X = 0 накладені крайові умови Діріхле, при \ Y = 0 - Крайові умови Неймана. Тоді функція Гріна прийме вигляд
+ \ Frac {1} {2 \ pi} \ left [\ ln \ sqrt {(x-x_0) ^ 2 + (y + y_0) ^ 2} - \ ln \ sqrt {(x + x_0) ^ 2 + ( y + y_0) ^ 2} \ right].

Література

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава містить дуже зрозуміле виклад використання функцій Гріна для розв'язання крайових задач в електростатиці.)
  • AD Polyanin and VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема Гріна
R-функція
θ-функція
Функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Ландау
Функція Аккермана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru