Функція Мебіуса \ Mu (n) - мультиплікативна арифметична функція, застосовувана в теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її в 1831.


1. Визначення

\ Mu (n) визначена для всіх натуральних чисел n і приймає значення {-1, \; 0, \; 1} в залежності від характеру розкладання числа n на прості співмножники:

  • \ Mu (n) = 1 якщо n вільно від квадратів (тобто не ділиться на квадрат ніякого простого числа) і розкладання n на прості множники складається з парного числа співмножників;
  • \ Mu (n) = -1 якщо n вільно від квадратів і розкладання n на прості множники складається з непарного числа співмножників;
  • \ Mu (n) = 0 якщо n не вільно від квадратів.

За визначенням також вважають \ Mu (1) = 1 .

50 перших точок

2. Властивості і додатки

Функція Мебіуса мультипликативна: для будь-яких взаємно простих чисел a і b виконується рівність \ Mu (ab) = \ mu (a) \ mu (b) .

Сума значень функції Мебіуса по всьому делителям цілого числа n , Не рівного одиниці, дорівнює нулю

\ Sum_ {d | n} \ mu (d) = \ begin {cases} 1, & n = 1, \ \ 0, & n> 1. \ End {cases}

Це, зокрема, випливає з того, що для всякого непорожньої кінцевого безлічі кількість різних підмножин складаються з непарного числа елементів дорівнює кількості різних підмножин складаються з парного числа елементів - факт, який застосовується також в доказі формули звернення Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Мертенса ставленням

M (n) = \ sum_ {k = 1} ^ n \ mu (k).

Функція Мертенса в свою чергу тісно пов'язана із завданням про нулях дзета-функції Рімана, див. статтю гіпотеза Мертенса.


3. Звернення Мебіуса

3.1. Перша формула звернення Мебіуса

Для арифметичних функцій f і g ,

g (n) = \ sum_ {d \, \ mid \, n} f (d)

тоді і тільки тоді, коли

f (n) = \ sum_ {d \, \ mid \, n} \ mu (d) g (n / d) .

3.2. Друга формула звернення Мебіуса

Для вещественнозначних функцій f (x) і g (x) , Визначених при x \ geqslant 1 ,

g (x) = \ sum_ {n \ leqslant x} f \ left (\ frac {x} {n} \ right)

тоді і тільки тоді, коли

f (x) = \ sum_ {n \ leqslant x} \ mu (n) g \ left (\ frac {x} {n} \ right) .

Тут сума \ Sum_ {n \ leqslant x} інтерпретується як \ Sum_ {n = 1} ^ {\ lfloor x \ rfloor} .