Графіки перших чотирьох функцій Уолша

Функціями Уолша називається сімейство функцій, що утворюють ортогональну систему, що приймають значення тільки 1 і -1 на всій області визначення.

В принципі, функції Уолша можуть бути представлені в безперервній формі, але частіше їх визначають як дискретні послідовності з 2 ^ n елементів. Група з 2 ^ n функцій Уолша утворює матрицю Адамара.

Функції Уолша одержали широке поширення в радіозв'язку, де з їх допомогою здійснюється кодове розділення каналів ( CDMA), наприклад, у таких стандартах стільникового зв'язку, як IS-95, CDMA2000 або UMTS.

Система функцій Уолша є ортонормированном базисі і, як наслідок, дозволяє розкладати сигнали довільної форми в узагальнений ряд Фур'є.


1. Позначення

Нехай функція Уолша визначена на інтервалі [0, T]; за межами цього інтервалу функція періодично повторюється. Введемо безрозмірне час ~ \ Theta = t / T . Тоді функція Уолша під номером k позначається як wal (k, \ theta) . Нумерація функцій залежить від методу упорядкування функцій. Існує впорядкування по Уолш - у цьому випадку функції позначаються так, як описано вище. Також поширені впорядкування по Пелі ( pal (p, \ theta) ) І по Адамара ( had (h, \ theta) ).

Щодо моменту \ Theta = 0 функції Уолша можна розділити на парні і непарні. Вони позначаються як ~ Cal (k, \ theta) і ~ Sal (k, \ theta) відповідно. Ці функції аналогічні тригонометричним синусів і косинусів. Зв'язок між цими функціями виражається наступним чином:

~ Cal (k, \ theta) = wal (2k, \ theta)
~ Sal (k, \ theta) = wal (2k-1, \ theta)

2. Формування

Існує кілька способів формування. Розглянемо один з них, найбільш наочний: Матриця Адамара може бути сформована рекурсивним методом за допомогою побудови блокових матриць за такою загальною формулою:

H_ {2 ^ n} = \ begin {bmatrix} H_ {2 ^ {n-1}} & H_ {2 ^ {n-1}} \ \ H_ {2 ^ {n-1}} &-H_ {2 ^ {n-1}} \ end {bmatrix} \,

Так може бути сформована матриця Адамара довжини 2 ^ n :

H_1 = \ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix} \,
H_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 1 \ \ 1 & -1 \ end {bmatrix} \,
H_4 = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & -1 & 1 & -1 \ \ 1 & 1 & -1 & -1 \ \ 1 & -1 & -1 & 1 \ end { bmatrix} \,

Кожен рядок Матриці Адамара і є функцією Уолша.

В даному випадку функції впорядковані за Адамара. Номер функції по Уолш обчислюється з номера функції по Адамара шляхом перестановки біт у двійковій запису номера в зворотному порядку з наступним перетворенням результату з коду Грея.


2.1. Приклад

Номер по Адамара Двійкова форма Перестановка біт Перетворення з коду Грея Номер по Уолш
0 00 00 00 0
1 01 10 11 3
2 10 01 01 1
3 11 11 10 2

У підсумку виходить матриця Уолша, в якій функції впорядковані за Уолш:

W_4 = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 1 & 1 & -1 & -1 \ \ 1 & -1 & -1 & 1 \ \ 1 & -1 & 1 & -1 \ end { bmatrix} \,

3. Властивості

3.1. 1. Ортогональність

Скалярний добуток двох різних функцій Уолша дорівнює нулю:

{\ Int \ limits_0 ^ 1 wal (n, \ theta) \ cdot wal (k, \ theta) d \ theta = 0} \ qquad {\ mbox {if} k \ neq n}

3.1.1. Приклад

Припустимо, що n = 1, k = 3 (див. вище). Тоді,

\ Int \ limits_0 ^ 1 wal (1, \ theta) \ cdot wal (3, \ theta) d \ theta = \,
= \ Int \ limits_0 ^ {1/4} 1 ^ 2 d \ theta + \ int \ limits_ {1/4} ^ {1/2} 1 \ cdot (-1) d \ theta + \ int \ limits_ {1 / 2} ^ {3/4} (-1) \ cdot 1 d \ theta + \ int \ limits_ {3/4} ^ 1 (-1) ^ 2 d \ theta = 0 \,

3.2. 2. Мультипликативность

Добуток двох функцій Уолша дає функцію Уолша.

wal (n, \ theta) \ cdot wal (k, \ theta) = wal (i, \ theta) \,

де i = n \ oplus k - складання по модулю 2 номерів у двійковій системі.

3.2.1. Приклад

Припустимо, що n = 1, k = 3. Тоді,

n \ oplus k = 01_2 \ oplus 11_2 = 10_2 = 2

У результаті множення отримаємо:

\ Begin {array} {| c | c | c | c | | c |} \, & \, & \, & \, & n \ \ \ hline 1 & 1 & -1 & -1 & wal (1, \ theta) \ \ 1 & -1 & 1 & -1 & wal (3, \ theta) \ \ \ hline 1 & -1 & -1 & 1 & wal (2, \ theta) \ \ \ end {array}

4. Перетворення Уолша-Адамара

Є окремим випадком узагальненого перетворення Фур'є, в якому базисом виступає система функцій Уолша.

Узагальнений ряд Фур'є представляється формулою:

S (t) = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} {c_i \ cdot u_i (t)} \,

де u_i це одна з базисних функцій, а c_i - Коефіцієнт.

Розкладання сигналу по функціях Уолша має вигляд:

S (t) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {c_k \ cdot wal (k, t / T)} \,

У дискретної формі формула запишеться наступним чином:

S (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {c_k \ cdot wal (k, n)} \,

Визначити коефіцієнти c_i можна, здійснивши скалярний добуток розкладають сигналу на відповідну базисну функцію Уолша:

c_k = \ frac {1} {T} \ int \ limits_0 ^ T {S (t) \ cdot wal (k, t / T)} dt \,

Слід враховувати періодичний характер функцій Уолша.

Існує також швидке перетворення Уолша [1].


Література

Баскаков С. І. Радіотехнічні ланцюги і сигнали. - М.: Вища школа, 2005 - ISBN 5-06-003843-2