Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Функція Хевісайда



План:


Введення

Одинична функція Хевісайда

Функція Хевісайда (одинична ступінчаста функція, функція одиничного стрибка, включена одиниця) - кусочно-постійна функція, рівна нулю для від'ємних значень аргументу і одиниці - для позитивних. У нулі ця функція, взагалі кажучи, не визначена, однак її зазвичай доопределяют в цій точці деяким числом, щоб область визначення функції містила всі крапки дійсної осі. Найчастіше неважливо, яке значення функція приймає в нулі, тому можуть використовуватися різні визначення функції Хевісайда, зручні з тих чи інших міркувань, наприклад [1]

\ Theta (x) = \ begin {cases} 0, & x <0; \ \ \ dfrac {1} {2}, & x = 0; \ \ 1, & x> 0. \ End {cases}

Інше поширене визначення:

\ Theta (x) = \ begin {cases} 0, & x <0; \ \ 1, & x \ geqslant 0. \ End {cases}

Функція Хевісайда широко використовується в математичному апараті теорії управління і теорії обробки сигналів для представлення сигналів, що переходять в певний момент часу з одного стану в інший. В математичної статистики ця функція застосовується, наприклад, для запису емпіричної функції розподілу. Названа на честь Олівера Хевісайда.

Функція Хевісайда є первообразной функцією для дельта-функції Дірака, θ '= δ , Це також можна записати як:

\ Theta (x) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ x \! \ Delta (t) \, dt.

1. Дискретна форма

Можна визначити дискретну функцію Хевісайда як функцію від цілого аргумента n :

\ Theta [n] = \ begin {cases} 0, & n <0; \ \ 1, & n \ geqslant 0, \ end {cases}

де n - ціле число.

Дискретний одиничний імпульс є першою різницею дискретної функції Хевісайда:

δ [n] = θ [n] - θ [n - 1].

2. Аналітичні форми

Для більш зручного використання функцію Хевісайда можна апроксимувати за допомогою неперервної функції:

\ Theta (x) \ approx \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ mathrm {th} \, kx = \ frac {1} {1 + e ^ {-2kx}},

де більшого k відповідає більш крутий підйом функції в точці x = 0 . Якщо прийняти θ (0) = 1 / 2 , Рівняння можна записати в граничній формі:

\ Theta (x) = \ lim_ {k \ to \ infty} \ frac {1} {2} (1 + \ mathrm {th} \, kx) = \ lim_ {k \ to \ infty} \ frac {1} {1 + e ^ {-2kx}}.

Існує кілька інших апроксимацій безперервними функціями:

\ Theta (x) = \ lim_ {k \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {\ pi} \ mathrm {arctg} \, kx \ right);
\ Theta (x) = \ lim_ {k \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \, \ mathrm {erf} \, kx \ right).

3. Запис

Часто використовується і буває корисною інтегральна форма запису одиничної функції:

\ Theta (x) =- \ lim_ {\ varepsilon \ to 0 ^ +} \ frac {1} {2 \ pi i} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty \ frac {1} {\ tau + i \ varepsilon} e ^ {-ix \ tau} \, d \ tau.

4. θ (0)

Значення функції в нулі часто задається як θ (0) = 0 , θ (0) = 1 / 2 або θ (0) = 1 . θ (0) = 1 / 2 - Найбільш уживаний варіант, оскільки з міркувань симетрії у точці розриву першого роду зручно доопределяется функцію середнім арифметичним відповідних односторонніх меж, крім того в цьому випадку функція Хевісайда пов'язана з функцією знака :

\ Theta (x) = \ frac {1} {2} (1 + \ sgn x) = \ begin {cases} 0, & x <0; \ \ \ dfrac {1} {2}, & x = 0; \ \ 1, & x> 0. \ end {cases}

Значення в нулі може явно вказуватися у записі функції:

\ Theta_n (x) = \ begin {cases} 0, & x <0; \ \ n, & x = 0; \ \ 1, & x> 0. \ End {cases}

5. Перетворення Фур'є

Похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції (тобто функція Хевісайда - первообразная дельта-функції):

\ Theta (x) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ x \ delta (t) \, dt .

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції ~ \ Theta (t) , Отримаємо її зображення види:

\ Frac {1} {2 \ pi i \ omega} + \ frac {1} {2} \ delta (\ omega),

тобто:

\ Theta (t) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (\ frac {1} {2 \ pi i \ omega} + \ frac {1} {2} \ delta (\ omega) \ right) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega

(Другий член - відповідний нульовій частоті в розкладанні - описує постійний зсув функції Хевісайда вгору, а без нього вийшла б непарна функція).


Примітки

  1. У теорії автоматичного управління та теорії операторів Лапласа часто позначається як \ Scriptstyle {\ eta (x)} . Див, наприклад,
    Волков І. К., канатник А. Н. Інтегральні перетворення та операційне числення: Учеб. для вузів / Під ред. BC Зарубіна, А. П. Крищенко - 2-е вид. - М .: Изд-во МГТУ ім. Н. Е. Баумана, 2002. - 228 с. - (Математика в технічному університеті; Вип. XI). - ISBN 5-7038-1273-9. .

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
R-функція
Функція
θ-функція
Функція Аккермана
Функція Уолша
Сингулярна функція
Проста функція
Атомарна функція
Хі-функція Лежандра
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru